84定积分的性质 4.设f在[a,b]上有界,{an}c[a,b], Lima=c.证明:若f在[a, b]上只有an(n=1,2,…)为其间断点,则f在[a,b]上可积 证设c∈(a,b),f在[a,b]上的振幅为a,任给>0(< inc-a,b-c}),由 liman=c知存在N,使得n>N时,an∈U(c, 4),从而在a,c-4Utc+L,上至多只有有限个间断点由定 理9.5,93知存在[a,c-42,e+cb]上的分割T,T使得 x<,△x< 记T为T,r的分点并添上点c-4,c+4作成的[a,b]上的分 割,则有 2x≤叫△x+叫+一+)+△x < 由定理9.3知:f在[a,b]上可积 5.证明:若f在区间△上有界,则 g(x)-2(x)=、1f(x)-(x)1 84定积分的性质 1.证明:若f与g在[a,b]上可积,则 ∑()g(n)△x 其中,是△;内的任意两点T={△},i=1,2,…,n. 证f与g在[a,b]上可积,由定理91知f,g在[a,b]上有界,且g 在[a,b]上可积,设f(x)|<M,x∈[a,b],则对[a,b]上任意分割T 有
第九章定积分 ∑()g(n)△x =∑G)(g(G)+g(n)-g()△x f()g()△x+∑(:)o△x 所以1yx-8(△x≤M△x 令‖'T‖→0,右端极限为0,从而 f(G)g(G)△x=g 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小 (2)xdx与 sin xdx 解(1)因为在(0,1)上,x2<x,所以 xdx<.xdx (2)因为在(0,]上six<x,所以 3.证明下列不等式 (1)5< (2)1<exdx< X (3)1<2x< (4316<xd<6 证(1)因为1< 1-1cn2 2,x∈(O,)所以
s4定积分的性质 (2)因为1=e<e<el=e,x∈(0,1).故 1 1dx< ex dx<edx (3)由于2<<1,x∈(0,),所以 <2x<[d= (4)令()=2-mx=0,得m在[e,4e]上驻点x=e2,又 2√x x1x-。=1,x1x+=4,所以在(e,4)上 1<如x<=2 从而3、c=(“1dx<mxx<(2 4设f在a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明((x×)2dx>0 证由f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,则必彐点x∈[a, b],使f(x0)≠0,则由f的连续性,知存在(x-8,x+8)使在(x-8, x+6)上f(x)≠0 则(x)=P+”P+P=p+0>0 注:若x为a或b,可取单侧邻域 5.设f与g都在[a,b]上可积,证明 Mx)=21x,g(x),m(x)=21(x),g(x) 在[a,b]上也都可积 证由于f(x),g(x)可积,f(x)±g(x)在[a,b]上也可积,由上1
第九章定积分 f(x)±g(x)|在[a,b]上也可积,又 M(x) f(x)+g(x)+1f(x)-g(x)1 m(x)=f(x+g(x-lf(x-g(x, 且可积函数的和,差,数乘仍可积,所以M(x),m(x)在[a,b]上均可 7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足{(x)}≥m>0.证明 在[a,b]上也可积 证因f可积,对任给c>0,必存在某一分剖T使得∑a△x< m2e.设x,x是属于分割T的小区间△上的任意两点,则 1-1x=f(x)-f(x2 f(x) f(x) 用表示在△上的振幅则有≤所以 故在[a,b]上也可积 进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理98)中的 中值点∈(a,b) 证若m=M,则f(x)≡m,x∈[a,b],则可取为[a,b]上任意 点若m<M,此时必有 m(b-a)< f(x)dx< M(b-a) 若上述不等式任意一个取等号,例如若m(b-a)=|(x)dx,则 (f(x)-m)dx=0,而f(x)-m≥0,必有f(x)≡m,对x∈[a,b],矛 盾故E∈(a,b)
§4定积分的性质 9证明若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、 m分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界则必存在某实数(m≤H≤ M),使得 f(x)g(x)dx=pg(x)dx 证不妨设g(x)>0(g(x)<0情形类似)因在[a,b]上,m≤ f(x)≤M,从而 g(x)dx≤f(x)g(x)dx≤Mg(x)dx f(xg(x)dx g(x)dx 故必存在p∈m,M],使(x)g(x)dx=g(x)dx 10.证明若f在anb]上连续,且(x)kx=x(x)x=0,则在 (a,b)内至少存在两点x1、x,使f(x1)=(x)=0.又若x(x)dkx= 0,这时f在(a,b)内是否至少有三个零点? 证由f=0知在(ab)内存在零点设在(a,b)内只有一点 ,使f(x1)=0,则由 可得 f≠0 又因f在[a,x1]与[x1,b]每个区间内不变号,故由推广的积分第 中值定理