线性代数第三章年乐花老三堂矩阵可逆的判别定理及求法 结束二三、可逆矩阵的性质
线性代数 第三章 二、矩阵可逆的判别定理及求法 结束 三、可逆矩阵的性质
线性代数 第三章三、可逆矩阵的性质第花老三(1)若A可逆,则A-l,A'亦可逆,且(A-)- = A, (A')-1 =(A-I)'(2)若A可逆,数0,则A可逆,且(aA)"=元A-1(3)若A,B均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1 = B-IA-1(4)若A 可道，则有|4=下面证明这四条性质
线性代数 第三章 ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − − = = 若 可 逆 则 亦 可 逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A − − = 若 可 逆 数 则 可 逆 且 ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B A B A B B A − − − = 若 均 可 逆 则 亦 可 逆 且 三、可逆矩阵的性质 1 1 1 A A . A − − (4) 若 A 可逆，则有 = = 下面证明这四条性质
线性代数 第三章大花证明：(1)：AA-=A-A=E：:A-I可逆且有(A-")-I = A.(A-1)A' =(AA-1) =(E) = E:: (A')- =(A-)(1)若A可逆,则A-I,A'亦可逆,且(A-)-=A,(A)-I=(A-)(_A-") =(_2)(A-A) = E,(2). (A)(2.A可逆．即（aA)-12(2)若A可逆,数入±0,则A可逆,且(aA)"=_A-
线性代数 第三章 A 可 逆 . 1 1 1 1 (2). ( )( ) ( )( ) A A A A E − − = = ， 1 1 1 ( ) A A − − 即 = 证明： 1 1 ( ) ( ) ( ) A A AA E E − − = = = 1 1 ( ) ( ) A A − − = 1 1 (1) AA A A E − − = = 1 A . − 可 逆 1 1 ( ) . A A − − 且 有 = ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − − = = 若 可 逆 则 亦 可 逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A − − = 若 可 逆 数 则 可 逆 且 ∵
线性代数 第三章祥大三堂(B-"A-1)(3). (AB)若A,B均可逆3= A(BB-I)A-1则AB亦可逆，且=E(AB)-I = B-IA-1: (AB)-" = B-1A-1推广到一般，如果 n阶矩阵A,A,,",Ak都可逆，那么A,A,A,可逆，且有(A,A, .- A,)-I = A-I..- A,"A-
线性代数 第三章 ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 1 1 1 1 ( ) AB B A A BB A E − − − − = = (3). ( )( ) ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B A B AB B A − − − = 若 均可逆 则 亦可逆 且 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , . k k k k n A A A A A A A A A A A A − − − − = 推 广 到 一 般 ， 如 果 阶 矩 阵 ， 都 可 逆 ， 那 么 可 逆 ， 且 有 （ ）
线性代数 第三章三4==4r.(4)若 A 可逆，则有证明：:AA- = E:AA-|=1因此[4==A
线性代数 第三章 1 1 = − A A 1 1 1 A A A − − 因此 = = 证明： 1 1 1 A A . A − − (4) 若 A 可逆，则有 = = AA = E −1 ∵