《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使PAP=L为对角阵， 把P用其列向量表示为P=1,P2L,p 由P1AP=L,得AP=PL, ù ǘ 即AP,P,L,pirp,L,. 12 近 0 ú e 8 1 =1p1,l2P2,L,lnpnǜ

第五章 相似矩阵与二次型 证明 二、方阵可对角化的条件

第五章相似矩阵与二次型 Ap,P2,L,pAp,Ap2,L,Ap =l1p1,12P2L,lnpn日 于是有Ap,=1;P(i=1,2,L,). 可见1是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值！的特征向量。 又由于P可逆，所以P1,p2,L,pn线性无关. 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量， 这个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=L

第五章 相似矩阵与二次型