第2章矩阵与向量 一、基本要求 (1)了解线性方程组的加减消元法与矩阵的初等行变换的关系， (2)熟悉掌握向量的线性运算及其运算律. (3)熟练掌握用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵以及行最简形的 方法. (4)熟悉向量线性组合以及线性相关性的概念、性质、定理和有关结论，并能 用以判断向量组的线性相关性， (⑤)熟悉向量组等价的概念、性质以及常用结论，并能用以判断向量组是否 等价 (6)熟悉向量组的最大无关组的概念、性质，掌握求向量组的最大无关组的方法」 (7)了解向量组和矩阵的秩的概念，并能熟练地使用矩阵的初等行变换求秩 (8)重点掌握用向量组的秩判断向量组线性相关性、用初等行变换求向量组 的最大无关组的方法，以及用初等变换找出向量间的线性关系的方法. (9)初步了解向量空间、基、维数、子空间等概念，会求向量在一个基下的 坐标. 二、内容提要 1.概念 1)矩阵 由m×n个数a(i=1,2,.,m;j=1,2,.,n)排成的m行n列的数表 「ana2.am A= a2a2a2w 称为m行n列矩阵，简记为A=(a）m×n或Am×m 2)阶梯形矩阵 形如
·36 线性代数学习指导 00.cmcr+. 00.00.0 L00.0 0.0 的矩阵称为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵的特点为：每个阶梯只有一行：元素不全为零的行（非零行）的第一 个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）：元 素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面. 3)行最简形 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且这个1所在列的其余 元素全为零，则该矩阵称为行最简形 4)标准形 矩阵 [10.00.0 101.00.0 1mxm=00.10. 0 00.00. 0 L00.00.0 称为矩阵Am×.的标准形 5)初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换 (1)交换矩阵的i,j两行（列），记作rr,(c,+c,): (2)以非零数飞乘以矩阵的第i行（列）的所有元素，记作r×k(c,×k): (3)把第j行（列）所有元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，记作十 kr,(c十kc). 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换 6)矩阵的等价 矩阵A经过初等变换化为矩阵B,称A与B等价，记作A一B
第2章矩阵与向量 ·37· 7)向量 n个实数构成的有序数组(a1,a2,a.)称为一个n维行向量，记作a,即 a=(a1,a2.,an）. 称 a (a1a,.,an) 为n维列向量。 以上实数a,称为向量a的第i个分量. 所有分量均为零的向量称为零向量，记作0=(0,0，·，0). n维向量a=(a1,a2,.,an)的负向量一a=（一a1,一a2,.,一am）. 如果n维向量a=(a1,a2,.,an),B=(b,b,.,b.)的对应分量都相等，即 a,=b,i=1,2,.,n, 则称向量a与B相等，记作a=B 8)向量的线性运算 设向量a=(a1,ae.,a),B=(b,b,.,bn) (1)加法：a+B=(a1十b,a2十h.,a.+b)》 (2)数与向量的乘法：a=(aa1,aa2,.,Aan)(a∈R) 9)线性组合 对于向量a,a1,a2,.,a,如果存在一组数k1,k2,.,k.,使得 a=k1a1十k2a2十.+ka 成立，则称向量a是向量a1,a2,.,a.的线性组合，或称向量a可由向量组a1, a2,.,am线性表示. 10)向量组的等价 若向量组1，a2,.,a中的每个向量a(i=1,2,.,s)都可由向量组B,.,B 线性表示，则称向量组a1,a.,a,可由向量组B:,B,·,B线性表示. 如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价 11)线性相关性 对于向量组a1,a2,.,am,如果存在不全为零的数k1,k2,.,km,使得 k1a1+ka2+.十knam=0
·38· 线性代数学习指导 成立，则称向量组a2.,am线性相关；否则，即仅当k1,k2,.,kn全为零时上 式成立，称向量组a1,a2,.,gm线性无关. 12)最大无关组 若向量组T的一个部分组a1,a2,.,a,同时满足： (1)a1,a2,.,a线性无关： (2)a∈T,向量组a,a1,a2,.,a,线性相关（或向量a可由向量组a,a,., a,线性表示)，则称向量组a,a2,.,a,为向量组T的一个最大无关向量组，简称 最大无关组， 13)向量组的秩 向量组T的最大无关组a1,a2,a,所含向量的个数r称为向量组T的秩， 记作R(T),即R(T)=r. 只含零向量的向量组的秩规定为0. 14)k阶子式 在矩阵Amx.中，任取k行k列(k≤min(m,n),位于这些行和列的交叉处的 k个元素，不改变它们在矩阵A×中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为 矩阵Am×n的k阶子式 15)矩阵的秩 矩阵A的行、列向量组的秩相等，统称为矩阵A的秩，记作R(A) 矩阵的秩也可这样定义：矩阵A的不为零的最高阶子式的阶数r称为矩阵A 的秩，记作R(A),即R(A)=r 16)向量空间、基、维数、子空间 若n维非空向量集合V对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭，则称V 为向量空间. 向量空间V的一个最大无关组称为V的一个基：基中所含向量的个数（即向 量组V的秩)称为向量空间V的维数 若向量空间V,CV2,则称V是V,的子空间 2.性质 向量的线性运算满足以下运算规律（其中α，B,Y,0是同维数的行或列向量，入， 4是数)： (1)a十B=B+a: (2)a+(B+Y)=(a+B)+Y (3)a十0=a: (4)a+(-a)=0: (5)a(a十B)=Aa+B；
第2章矩阵与向量 ·39· (6)(a十a)a=λa十ua (7)A(ua)=(Ap)a: (8)1a=a. 3.定理 定理2.1任一矩阵可经有限次初等行变换化为阶梯形矩阵 推论任一矩阵可经有限次初等行变换化为行最简形 定理2.2任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 定理2.3向量组a1,a2,.,am线性相关台a1,a2,am中至少有一个向量 可由其余m一1个向量线性表示. 定理2.4若向量组a1,2,.,a.线性无关，而向量组a,2,am,a线性 相关，则向量a能由向量组a1,a2.,a线性表示，且表达式是唯一的. 定理2.5若线性无关的向量组a1,a2,.,a,可由向量组B1,B,B线性表 示，则≤. 推论1等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量 推论2等价向量组的最大无关组含有相同个数的向量。 推论3等价向量组的秩相等。 推论4向量组a1,a2,.,a.线性无关台R(a1,a2,.,am)=m 定理2.6初等变换不改变矩阵的秩. 定理2.7初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系。 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B). 4.常用结论 (1)一个向量a线性相关=a=0, (2)如果向量组a,a2,a.中有两个向量a,a,(i≠j)的对应分量成比例 那么a1,a2,.,a线性相关. (3)含有零向量的向量组必线性相关. (4)若向量组的一个部分组线性相关，那么，该向量组线性相关，或者说，线性 无关向量组的任意一个部分组必定线性无关， (5)n维向量组 a=(a1,a2,.,an)(i=1,2,.,n)线性无关 a1a2.aw 台行列式aa. ≠0