第五章相似矩阵与二次型 s5.6 正定二次型 一、 正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结思考题
第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题 一、正定二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念 定义5.6.1设f=XX为实二次型，如果对任意 维列向量X10,都有f=X4X>0,则称f=XX为 正定二次型，并称对称矩阵4是正定矩阵；如果对任 意维列向量X10,都有f=X4X30,则称f=XX 为半正定二次型，并称对称矩阵4是半正定矩阵. 例如∫=x好+子+L+x 为正定二次型 f=x子+x子+L+x(r<n)为半正定二次型
第五章 相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1实二次型f=X4X为正定的充分必要条件 是其标准形(5-13)式中n个系数全大于零. 证：设二次型f=X4X经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=11y子+l2y+L+1my员 充分性： 若l,>0(i=1,2,L,),对于任意的X10,则有 Y=CX10 f(X)=f(CY)=1y+l22+L+l>0 即二次型正定
第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 充分性 : 即二次型f正定
第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） 假设存在某个1.￡0，取Y=e.(单位向量)， 当x=Ce、10,则有f(X)=f(Ce,)=l,￡0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而l,>0(i=1,2,L,), 推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正 推论2实二次型f=XX为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为f=y+y子+L+y
第五章 相似矩阵与二次型 必要性(反证法) 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正
第五章相似矩阵与二次型 推论3 实二次型f=XX为正定则A>0. 因为4A正定，所以二次型f=XX正定，经可逆线性 变换X=CY化为标准形f=I1y+l2y?+L+1my 由定理5.6.1知，1，>0(i=1,2,L,n),又因 l,0L0ù C4C=L=012L e 0 ú LLLLú e0 0 L I.d 所以C4C=|CAA=|=1l,L1,>0 而C10,故|A>0
第五章 相似矩阵与二次型