第三章矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题
第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题
第三章矩阵的运算 一、概念的引入 在数的运算中，当数0≠0时，有 a01=aa=1, 其中a'=1为a的倒数，（或称a的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1, 使得 AA=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵
第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a 0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入
第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的定义 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵。 例如 4+[ 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵
第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B − = = − 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如
第三章矩阵的运算 说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一 磐设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=A-1. (2)上述等式中A和B的地位是对称的. (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵 因此有必要讨论矩阵可逆的条件
第三章 矩阵的运算 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一 的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = = (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 因此有必要讨论矩阵可逆的条件。 (2)上述等式中A和B的地位是对称的
第三章矩阵的运算 三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵 1 L12 设A= L21 L22 我们构造矩阵 A21 A A"= A n2 称为A的伴随矩阵。 A 2n A nn
第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵