第五章相似矩阵与二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 >二、实对称矩阵对角化的方法 产三、小结
第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结
第五章相似矩阵与二次型 一、 实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数， 证明设复数！为对称矩阵的特征值，复向量为 对应的特征向量， 即 Ax=1x,x10. 用1表示1的共轭复数，表示x共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(lx)=1x
第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理
第五章相似矩阵与二次型 于是有xMx=xAx)=xx=lx水， 另外 x=x=(Ax)x=(I x)x=1 xfx 两式相减，得 (L-I)x4=0. 但因为x10, 所以 x=axx=ax10,b(-1)=0, i=1 i-1 即1=1，由此可得1是实数
第五章 相似矩阵与二次型 于是有 两式相减，得 另外
第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵4的特征值：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-1,E)x=0 是实系数方程组，由A-1,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量
第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义
第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的 证明设p,是对称矩阵的不同的两个特征值 11,1,的特征向量，即 Ap1=11P1,Ap2=12P2, QA=Ag I P=(Ip)=(Ap)g=p CAg=p.CA, 于是11Pp2=p,Ap2=p112P2)=12pp2, (1-12pp2=0. Q1,'12”\p,p2=0.即p与p2正交
第五章 相似矩阵与二次型 证明 于是 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的