有关矩阵的基本概念,现在回过头来研究一般线性方程组。 41x1+…+a1nxn=b1 定义4已知一般线性方程组: ∴+a 则由(1)的系数组成的矩阵: A= mn 称为方程组(1)的系数矩阵,而由(1)的系数和常 数项组成的矩阵: 11
有关矩阵的基本概念，现在回过头来研究一般线性方程组。 ◼ 定义4 已知一般线性方程组： (1) 1 1 11 1 1 1 + + = + + = m mn n n n n a x a x b a x a x b 则由（1）的系数组成的矩阵： A= m mn n a a a a 1 11 1 称为方程组（1）的系数矩阵，而由（1）的系数和常 数项组成的矩阵： A = m mn m n a a b a a b 1 11 1 1
称为方程组(1)的增广矩阵。 说明:给了方程组就给了一个矩阵,而给了一个矩阵,可以对应一个线性 方程组 定义5方程组(1)的一个解是指:由n个数k1…k 组成的有序数组(k…k)当xx分别用k…k 代入(1)后,(1)中每一个等式都变成恒等式 1)的解的全体称为解集合。解方程组就是找出它的全解, 即求出解集合。如果两个方程组有相同的解集合,就称它们同解。 例1解方程组 2x1-x,+3x 4x,+2x2+5x2=4 2x,+2x,=6
称为方程组（1）的增广矩阵。 ◼ 说明：给了方程组就给了一个矩阵，而给了一个矩阵，可以对应一个线性 方程组。 定义5 方程组（1）的一个解是指：由n个数 k1 kn 组成的有序数组 （ n k k 1 ）当 n x x 1 分别用 n k k 1 代入（1）后， （1）中每一个等式都变成恒等式。 （1）的解的全体称为解集合。解方程组就是找出它的全解， 即求出解集合。如果两个方程组有相同的解集合，就称它们同解。 例1 解方程组 + = + + = − + = 2 2 6 4 2 5 4 2 3 1 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x
解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程 得 x1-x2+3x3=1 4xn-x,=2 (3) 5 第二个方程减去第三个方程的4倍,且把第二个、第三个方程的 次序互换,得: 2x1-X,+3x2=1 (4) 3. 18 解为:(9,-1,-6)
解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程 得： − = − = − + = 5 4 2 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x （3） 第二个方程减去第三个方程的4倍，且把第二个、第三个方程的 次序互换，得： = − − = − + = 3 18 5 2 3 1 3 2 3 1 2 3 x x x x x x （4） 解为：（9，-1，-6）
分析一下消元法,不难看出:它实际上是反复地对方程组 进行变换,而所作的变换也只是以下三种: (1)交换两个方程的位置。 (2)用一个不等于零的数去乘某一个方程 3)用一个数去乘某一个方程后加到另一个方程上去。 这三种变换称为线性方程组的初等变换。 由例1知道:(4)是(3)经过初等变换后得到得,且(4)、(3) 同解。故 定理2:初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方 程组 8.现在我们来说明:如何利用初等变换来解一般方程组 对于方程组(1),先看x系数是否全为零,如果全为零, 实际(1)对x没有任何限制;x1可以取任何值。 而(1)可以看作x2…xn的方程组来解,因此,一般
可以取任何值。 系数是否全为零， 分析一下消元法，不难看出：它实际上是反复地对方程组 进行变换，而所作的变换也只是以下三种： （1）交换两个方程的位置。 （2）用一个不等于零的数去乘某一个方程。 （3）用一个数去乘某一个方程后加到另一个方程上去。 这三种变换称为线性方程组的初等变换。 由例1知道：（4）是（3）经过初等变换后得到得，且（4）、（3） 同解。故： 定理2：初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线 性方 程组。 8． 现在我们来说明：如何利用初等变换来解一般方程组。 对于方程组（1），先看 x1 如果全为零， 实际（1）对 1 x 没有任何限制； x1 而（1）可以看作 n x x 2 的方程组来解，因此，一般
x1的系数不全为零。a1…an不全为零,不妨设1≠0 于是增广矩阵: mn 可以利用初等行变换,分别把第一行的a倍加到第L行上去。 于是矩阵为 11 12 b n o a A1对应的方成组为:
1 x 的系数不全为零。 于是增广矩阵： a11 an1 不全为零，不妨设 a11 0 = m mn m n a a b a a b A 1 11 1 1 可以利用初等行变换，分别把第一行的 a ai 11 1 倍加到第 i 行上去。 i 于是矩阵为： = ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 22 11 12 1 1 1 0 0 m mn m n n a a b a a b a a a b A A1 对应的方成组为：