§5.2中心极限定理 数限理
§52中心极限定理 人们已经知道,在自然界和生产实践中遇到的大量随机 变量都服从或近似服从正态分布,正因如此,正态分布占有 广特别重要的地位。那么,如何判断一个随机变量服从正态分 布显得尤为重要。如经过长期的观测,人们已经知道,很多 时工程测量中产生的误差都是服从正态分布的随机变量。分 可析起来,造成误差的原因有仪器偏差Ⅺ、大气折射偏差X 温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等,这些偏差X 广对总误差X=∑X的影响都很微小,没有一个起到特别突出 的影响,虽然每个X的分布并不知道,但X=∑却服从正态 分布。类似的例子不胜枚举。 设{X为一随机变量序列,其标准化随机变量 上页
§5.2 中心极限定理 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机 变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有 特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分 布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多 工程测量中产生的误差X都是服从正态分布的随机变量。分 析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差X2, 温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等，这些偏差Xi 对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出 的影响，虽然每个Xi的分布并不知道，但 却服从正态 分布。类似的例子不胜枚举。 设 为一随机变量序列，其标准化随机变量 X =Xi X =Xi { } Xn
∑x,-E(∑x,) √O空x,) (5-6) 在什么条件下mP5x=m(x),这是十八世纪以来概率论研究 的中心课题,因而,从二十世纪二十年代开始,习惯上把研究 随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定 广理( Central limit theorems)。这里仅介绍独立同分布场合 下的中心极限定理。 定理52(林德伯格莱维( Lindeberg-Levy)中心极限定 不理)设x)是一相互独立同分布随机变量序列 EX1=,DX1=2,0<σ2<+∞,i=1,2,… 则对任意的实数,总有 上页
. （5-6） 在什么条件下， , 这是十八世纪以来概率论研究 的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究 随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极限定 理（Central Limit Theorems）。这里仅介绍独立同分布场合 下的中心极限定理。 定理5.2 (林德伯格—莱维（Lindeberg-Lévy）中心极限定 理) 设 是一相互独立同分布随机变量序列， 则对任意的实数，总有 ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i n i i i n D X X E X Y lim PY x (x) n n = → { } Xn EXi = , DX i = 2 , 0 2 +, i = 1, 2,
∑X-E∑X ∑X-mH lim P i=l ≤x}= lim Pi .<x ∫e=d=(x) n→ n→)00 no 丌 ∑X (5-7) 本定理的证明在20世纪20年代由林德伯格和莱维给出,因 证明较复杂,在此从略。 由定理52可知,当n充分大时 ∑X-m 近似 工工工 N(0,1) 12o (5-8) 从而 近似 ∑X1~N(n,n2) 上页
. (5-7) 本定理的证明在20世纪20年代由林德伯格和莱维给出，因 证明较复杂，在此从略。 由定理5.2可知，当n充分大时， ， (5-8) 从而， 2 1 1 1 2 1 1 lim lim d ( ) 2 n n n i i i x t i i i n n n i i X E X X n P x P x e t x n D X − = = = → → − = − − = = = ~ (0,1) 1 N n X n n i i 近似 = − ~ ( , ) 2 1 X N n n n i i 近似 =
或 近似 2 ∑X~NA,y) 二另外,对于任意的实数aMa<b和较大的n,由(58)可知 ∑ X-nu Pa ≤b≈(b)-da) (5-10) 定理5.2在概率论中占有特别重要的地位,由于它对{Xn}的 分布形式没有要求,因而得到广泛使用,对于应用吉来讲,只 c要能把问题抽象为独立同分布的随机变量之和,且这些随机变 量的均值和方差均存在,便可用(59)式近以计算概率。 上页
或 另外，对于任意的实数 和较大的n，由（5-8）可知 . (5-10) 定理5.2在概率论中占有特别重要的地位，由于它对 的 分布形式没有要求，因而得到广泛使用。对于应用者来讲，只 要能把问题抽象为独立同分布的随机变量之和，且这些随机变 量的均值和方差均存在，便可用（5-9）式近似计算概率。 ~ ( , ) 1 2 1 n X N n n i i 近似 = a,b( a b ) ( ) ( ) 1 b b a n X n P a n i i − − = { } Xn