上讲提要 1.空间直角坐标系、两点距离、空间曲面： 2.多元函数概念、二元函数定义域、图形； 3.多元函数的极限与连续。 3
3 上 讲 提 要 1．空间直角坐标系、两点距离、空间曲面； 2．多元函数概念、二元函数定义域、图形； 3． 多元函数的极限与连续
第二节偏导数与全微分 一、偏导数的概念 (一)实例 例已知理想气体的状态方程为 P=R(R为常量) 常需讨论： 1.在恒温下T看成常量)，当容积膨胀、压缩(W变 化)时，压强变化的快慢程度（即P对Ψ的变化率）： 2.在等积下(V看成常量)，当漫度升高或降低{变 化)时，压强变化的快慢程度（即P对的变化率）
4 第二节 偏导数与全微分 一、偏导数的概念 （一）实例 例 已知理想气体的状态方程为 T P R V = （R 为常量） 常需讨论： 1．在恒温下（T 看成常量），当容积膨胀、压缩（V 变 化）时，压强变化的快慢程度（即P 对V 的变化率）； 2．在等积下（V 看成常量），当漫度升高或降低（T 变 化）时，压强变化的快慢程度（即P 对T 的变化率）
(二)概念 1.偏增量 二元函数z=f(x,y)在P(x,y)的某邻域U(P)内有定义， 自变量x取增量△x,使(x。+△x,y,)∈U(P),函数有增量 f(x+△x,y)-f(x,)称为函数z=f(x,y)在P,点处关于 x的偏增量，记作△zx,即 △zx=f(x+△x,)-f(xo,) 同理可定义z=f(x,y)在P点处关于y的偏增量△2， △2v=f(x,%+△y)-f(xo,) 2.偏导数 定义4-4设函数z=f(x,y)在P(x,)点的某一邻域内有 定义，当△x→0时，函数关于x的偏增量与△x之比的极限， 5
5 （二）概念 1．偏增量 二元函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )的某邻域 0 U P( )内有定义， 自变量 x取增量x， 使 0 0 0 ( , ) ( ) x x y U P + ，函数有增量 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , ) + − 称为函数z f x y = ( , )在P0点 处关 于 x的偏增量，记作 x z ，即 x z 0 0 0 0 = + − f x x y f x y ( , ) ( , ) 同理可定义z f x y = ( , )在P0点处关于y的偏增量 y z , y z 0 0 0 0 = + − f x y y f x y ( , ) ( , ) 2．偏导数 定 义 4-4 设函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点的某一邻域内有 定义，当 →x 0时，函数关于x的偏增量与x之比的极限
即lim = im f(x+△x,)-fx2存在，则称此极 0△x △x→0 △x 限值为函数z=f(x,y)在B,(x)点处关于x的偏导数， 记作 f(xoYo).i 0z xx=%0 f）, v=Yo 同理可定义，函数z=f(x,y)在P(x,)点处关于y 的偏导数，记作 0z f(x%) Oy y=Yo y=Yo 说明 (1)若函数z=f(x,y)在区域D上每一点都有关于x或
6 即 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y → → x x + − = 存在，则称此极 限值为函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点处关于x的偏导数， 记作 0 0 ( ) x f x y , 0 0 x x y y z x = = , 0 0 f x y ( , ) x , 0 0 x x x y y z = = 同理可定义，函数z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点处关 于y 的偏导数，记作 0 0 ( ) y f x y , 0 0 x x y y z y = = , 0 0 f x y ( , ) y , 0 0 y x x y y z = = 说明 （1）若函数z f x y = ( , )在区域 D 上每一点都有关于x或
y的偏导数，称其为偏导函数，常简称为偏导数，记作 fx,y), dz of(x,y) Ox'Ox 或 f(x,y) dz of(x,y) dy'ay z=f(x,y)在(x,y)点关于x或y的偏导数，可视为此 函数关于x或y的偏导函数在P,点的函数值。二元函数、偏 导数有二个产，（整体记号） Ox oy (2)推广到三元函数u=f(x,y,z),有三个偏导数 OuOuou Ox'Oy'Oz 7
7 y的偏导数，称其为偏导函数，常简称为偏导数，记作 ( , ) x f x y , z x , f x y ( , ) x , x z 或 ( , ) y f x y , z y , f x y ( , ) y , y z z f x y = ( , )在 0 0 0 P x y ( , )点关于 x或 y的偏导数，可视为此 函数关于x或y的偏导函数在P0点的函数值。二元函数、偏 导数有二个 z x , z y （整体记号） （2）推广到三元函数u f x y z = ( , , )，有三个偏导数 u x , u y , u z