上讲提要 1.多元函数的偏导数 2.多元函数的全微分 二元函数z=f(x,y) 0z lim f(x+△x,y)-f(x,y) Ox △x→0 △x 8z lim f(x,y+△y)-f(x,y) 8y △y-→0 △y △z=A△x+B△y+O(P) dz k+d=d正，+d, 02d+1 Ox 3
3 上 讲 提 要 1．多元函数的偏导数 2．多元函数的全微分 二元函数z f x y = ( , ) 0 ( , ) ( , ) limx z f x x y f x y x x → + − = 0 ( , ) ( , ) limy z f x y y f x y y y → + − = = + + z A x B y o( ) x y z z dz dx dy dz dz x y = + = +
第三节 多元函数的微分法 一、复合函数的微分法 (一)概念 设函数z=f(u,v)是u,v的函数，而4，v又分别是x,y的函 数，u=p(x,y),v=(x,y),且(u,v)部分或全部在 z=f(u,)的定义域内，则称为x,y的复合函数，记作 z=f(0(x,y),(x,y),其中u,v称为中间变量。 (二)求导法则 4
4 第三节 多元函数的微分法 一、复合函数的微分法 （一）概念 设函数z f u v = ( , )是u v, 的函数，而u v, 又分别是x y, 的函 数 ， u x y v x y = = ( , ), ( , ) ， 且( , ) u v 部分或全部在 z f u v = ( , )的定义域内，则z 称为x y, 的复合函数，记作 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) ，其中u v, 称为中间变量。 （二）求导法则
定理4-2（链锁法侧） 设函数u=p(x,y),v=(x,y)在x,y点处具有偏导数，函数 z=f(u,v)在对应的(u,v)点处有连续偏导数，则复合函数 z=f(0(x,y),(x,y)在(x,y)点分别有关于x,y的偏导数， 且有 0z_ Oz ou Oz Ov x Ou ax v Ox 02 Oz Ou Oz Ov 8y Ou dy Ov ay 5
5 定理 4-2 （链锁法则） 设函数u x y v x y = = ( , ), ( , )在x y, 点处具有偏导数，函数 z f u v = ( , )在对应的( , ) u v 点处有连续偏导数，则复合函数 z f x y x y = ( ( , ), ( , )) 在( , ) x y 点分别有关于x y, 的偏导数， 且有 z z u z v x u x v x = + z z u z v y u y v y = +
证 固定y,给x一增量△x,相应地有 △ux,△VxAz 因为z=f(u,v)在(x,y)的对应点(u,v)处具有连续 的偏导数，所以z=f(u,v)在(u,v)点可微， 故 完y+年a,+on Azs= 其中p=V(A4)2+(Ay)》2 - DAuAv(p) △x Ou△xOv△x △x 因为u=p(x,),v=(x,y)在(x,y)点具有偏导数，所以 6
6 证 固定y ，给x一增量x，相应地有 ux , x v , x z 因 为z f u v = ( , )在( , ) x y 的对应点( , ) u v 处具有连续 的偏导数，所以z f u v = ( , )在( , ) u v 点可微， 故 ( ) x x x z z z u v o u v = + + 其中 2 2 ( ) ( ) = + u v x x ( ) x x x z z u z v o x u x v x x = + + 因为u x y v x y = = ( , ), ( , )在( , ) x y 点具有偏导数，所以
△u- Ou lim lim △y- Ov Ar-0△x Ox'Ar0△x 8x 又 lim△ux=0,lim△yx=0, △x→0 △x→>0 从而 lim p=0 △x-→0 所以，li o(p）=lim o()V(Au,)+(Av)2 x→0△X Ax-→0 △x =±lim =0 7
7 0 lim x x u u → x x = , 0 lim x x v v → x x = 又 0 lim 0 x x u → = , 0 lim 0 x x v → = , 从而 0 lim 0 x → = 所以, 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim[ ] x x x x o o u v x x → → + = 2 2 0 0 ( ) lim lim ( ) ( ) ] x x x x o u v x x → → = + 2 2 0 ( ) ( ) ] u v x x = + = 0