第四章方阵的特征问题与相似对角化 本章所要讨论的矩阵特征问题，是指方阵的特征值与特征向量的有关问题， 它们是线性代数中重要的基本概念，不仅在线性代数体系中占有重要地位，而 且在工程技术领域（例如振动问题、稳定性问题）也具有重要的理论意义和应 用价值。 本章还将讨论矩阵相似于对角矩阵（即相似对角化）问题。这一工作的意 义在于：如能在一定条件下以对角矩阵代替一般方阵，会使某些工作得以简化。 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义1对于n阶矩阵A=[am],把含有字母2的矩阵 λ-a1 -a12 AE-A= -a21 1-a22 一an 一a2 入-am 称为A的特征矩阵。 行列式E-A|的表达式w()是入的一个n次多项 式，称为A的特征多项式.方程W()=0称为A的特征方程，特征方程的根称 为A的特征值或特征根
2 第四章 方阵的特征问题与相似对角化 第一节 矩阵的特征值与特征向量 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 E A 定义1 对于n 阶矩阵A [a ij ] ，把含有字母 的矩阵 称为 A 的特征矩阵． 本章所要讨论的矩阵特征问题，是指方阵的特征值与特征向量的有关问题， 它们是线性代数中重要的基本概念，不仅在线性代数体系中占有重要地位，而 且在工程技术领域（例如振动问题、稳定性问题）也具有重要的理论意义和应 用价值。 本章还将讨论矩阵相似于对角矩阵（即相似对角化）问题。这一工作的意 义在于：如能在一定条件下以对角矩阵代替一般方阵，会使某些工作得以简化。 行列式 的表达式 是 的一个n次多项 式，称为 的特征多项式．方程 称为 的特征方程，特征方程的根称 为 的特征值或特征根． | E A| () A ()0 A A
矩阵的特征值是和所考虑的数域有关的.今后，在不加声明的 场合，总是在实数域上考虑矩阵的特征值. 例1矩阵A 的特征多项式为w(元)=(2-1)（九+2）九 0 特征值为九=1，入2=-2，元3=0. 由例1可见，对角矩阵的特征值就是主对角线上的诸元素. 设入是方阵A的一个特征值，(2)是A的特征多项式，则有 w(2)=0,即|2，E-A=0. 于是，入，E-A是降秩矩阵.从而，齐次线性方程组 (2,E-A)x=0 (1) 必有非零解.假设α是(1)的非零解，则有 Aa=九a, (2) 这样的列向量α称为特征向量
3 例1 矩阵 0 2 1 A 的特征多项式为 ( ) ( 1)( 2 ) ; 特征值为 1 2 3 1, 2, 0. 由例1可见，对角矩阵的特征值就是主对角线上的诸元素． 于是， 0 E A 是降秩矩阵．从而，齐次线性方程组 ( E A)x 0 0 （1） 必有非零解． 设 是方阵 的一个特征值， 是 的特征多项式，则有 ，即 ． 0 () | | 0 ( ) 0 0E A 0 A A 假设α 是(1)的非零解，则有 Aα 0α ， （2） 这样的列向量 α 称为特征向量． 矩阵的特征值是和所考虑的数域有关的．今后，在不加声明的 场合，总是在实数域上考虑矩阵的特征值．
定义2对于方阵A的特征值九。，若有非零向量使2成立， 则称a为矩阵A对应于特征值入的特征向量. 可以证明：方阵A的每一个特征向量只能对应于某一个确定的 特征值. 定理1对于方阵A,只要有数，及非零向量a使Aa=八a成立， 则，必是A的特征值，0必是A对应于特征值，的特征向量. 证由Aa=2,a知非零向量Q满足线性方程组(2，E-A)x=0, 既然该方程组有非零解，则其系数矩阵几，E-A必然是降秩的，于 是应有 九E-A=0, 可见几，是A的特征值.再由a满足Aa=,a,按定义2又知a为A 对应于特征值入。的特征向量.定理证毕
4 定义2 对于方阵 的特征值 ，若有非零向量 使(2)成立， 则称 为矩阵 对应于特征值 的特征向量． A 0 α α A 0 可以证明：方阵 的每一个特征向量只能对应于某一个确定的 特征值． A 定理1 对于方阵 ,只要有数 及非零向量 使 成立， 则 必是 的特征值， 必是 对应于特征值 的特征向量． A 0 α Aα 0α 0 A α A 0 证 由 知非零向量 满足线性方程组 ， 既然该方程组有非零解，则其系数矩阵 必然是降秩的，于 是应有 Aα 0α α (0E A)x 0 0E A 0 | E A | 0, 可见 是 的特征值．再由 满足 ，按定义2又知 为 对应于特征值 的特征向量．定理证毕． 0 A α Aα 0α α A 0
对于方阵A,求其特征值与特征向量的方法步骤如下： i.写出A的特征矩阵几E-A,并计算A的特征多项式 w(九)=|元E-A ⅱ.在指明的数域内（如未明确指出，可以理解为实数域内），求 出W(2)=0的全部根，即A的全部特征值.记互异的特征值为 九1，九2，…，九，· i.对每一个兄，(i=1,2,…,t),求出齐次线性方程组 (2,E-A)x=0 (3) 的全部非零解，也就是A对应于特征值人的全部特征向量.通常是 求出(3)的一个基础解系51,52，…，5，于是A对应于特征值2，的全 部特征向量可表示为 k51+k52+…+k5, 其中k1,k2,…,k,是（所指明数域上）不同时为零的任意数组
5 对于方阵 A ，求其特征值与特征向量的方法步骤如下: i．写出 A 的特征矩阵E A ，并计算 A 的特征多项式 ( ) | E A | ii．在指明的数域内(如未明确指出，可以理解为实数域内)，求 出 的全部根，即 的全部特征值．记互异的特征值为 ． ( ) 0 A t , , , 1 2 iii．对每一个 ( )，求出齐次线性方程组 （3） 的全部非零解，也就是 对应于特征值 的全部特征向量．通常是 求出(3)的一个基础解系 ，于是 对应于特征值 的全 部特征向量可表示为 ， 其中 是(所指明数域上)不同时为零的任意数组. i i 1, 2, , t ( E A) x 0 i A i s ξ ,ξ , ,ξ 1 2 A i s s k ξ k ξ k ξ 1 1 2 2 s k , k , , k 1 2
0 例2求矩阵A 3 0 的特征值和特征向量， 0 2 解A的特征多项式为 2+1 -1 0 w(2)=元E-A月 4 1-3 0=(-2)元-1)2 -1 0 1-2 可得A的实特征值为九1=2，几2=元3=1（二重）. 对于2，=2，求解（几E-A)x=0,即 3 -1 0 0 -1 0 0 得基础解系51=(0,0,1) 于是，A对应于特征值入=2的全部特征向量为 k51(k为任意非零实数) 7
7 1 0 2 4 3 0 1 1 0 例2 求矩阵 A 的特征值和特征向量． 对于 求解 ,即 ( 0 , 0 , 1) 1 ξ 0 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 3 2 1 x x x 1 2, ( E A)x 0 1 得基础解系 1 1 k ξ 于是，A 对应于特征值 1 2 的全部特征向量为 （ 为任意非零实数）. 1 k 解 A的特征多项式为 可得 的实特征值为 1 2 3 2, 1 2 1 1 0 ( ) | | 4 3 0 ( 2)( 1) . 1 0 2 E A A (二重)．