吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 二次型与对称矩阵

第五章二次型与对称矩阵 第一节二次型及其矩 定义1n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式f(x,x2,…,x称 为元二次型.各项系数都是实数的二次型称为实二次型；各项系 数为复数的二次型称为复二次型， 变量x,x2,…,xn的二次型的一般表达式为 f(x,x2,…,xn)=a1x2+2a12xx2+…+2a1nxxn +a22x号+2a23xx3+…+2am53 +…+an-ln-+2an-Laxn-1xn+amx号 () 若令ai=a,0=2,3,…,1≤i<),并将2a,xx,写成ayx,+ax,x，上 面的二次型(1)又可表示成 f(x)=ax+axaxn +a2X2X+z+anX2Xn +…+atax+…+0=224,x (2)

2 定义1 个变量 的二次齐次多项式 称 为 元二次型．各项系数都是实数的二次型称为实二次型；各项系 数为复数的二次型称为复二次型． n n x , x , , x 1 2  ( , , , ) 1 2 n n f x x  x 变量 x1 , x2 ,  , xn 的二次型的一般表达式为 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 . (1) n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x − − − − − = + + + + + + + + + + + ． 若令 并将 写成 ，上 面的二次型(1)又可表示成 ( 2, 3, , ;1 ), ji ij a a j n i j = =   ij i j 2a x x ij i j ji j i a x x + a x x 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) . (2) n n n n n n n n n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = = + + + + + + + + + + + + =   第五章 二次型与对称矩阵 第一节 二次型及其矩

今设 a12 a21 a22 A= a22 X2 an an2 ann Xn】 则二次型(1)又可写成矩阵乘积的形式 f(x)=x'Ax或f=x'c (3) 上式中的对称矩阵A称为二次型f的矩阵.矩阵A的秩定义为二 次型∫的秩. 例1求出下列二次型的矩阵f(x,,)=2x+号-2xx+x: 8(0y1,y2,y3)=-y+2y3 2 -1 0 解二次f型的矩阵为A=-101/2 01/21 二次型8的矩阵为B= 3

3 上式中的对称矩阵 称为二次型 的矩阵．矩阵 的秩定义为二 次型 的秩． A f A f 今设             =             = n n nn n n x x x x a a a a a a a a a        2 1 1 2 21 22 22 11 12 1 A , f (x) = xAx f = xAx ， 或 （3） 则二次型(1)又可写成矩阵乘积的形式 例1 求出下列二次型的矩阵 ( , , ) 2 . ( , , ) 2 2 ; 2 3 2 1 2 3 1 1 2 2 3 2 3 2 1 2 3 1 g y y y y y f x x x x x x x x x = − + = + − + 解 二次 f 型的矩阵为           − − = 0 1/ 2 1 1 0 1/ 2 2 1 0 A 二次型 g 的矩阵为 .          − = 2 0 1 B

从例1中我们看到，一个二次型只含平方项，则其矩阵必是对 角矩阵.反之，如果二次型的矩阵为对角矩阵，则该二次型只含平 方项 只含平方项的二次型称为二次型的标准形. 正如二次曲线方程的化简一样，我们希望能把一般的二次型化 简到只含平方项，即化为标准形.这就要用到线性变换」 定义2从变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,yn的一组线性关系式 x1=puy+p2y2 +.+pinyn2 x2=p21y+p22y2+..+p2nyn2 (4) xn=pmy+pn2y2 +...+pmyni 叫做一个线性变换 4

4 从例1中我们看到，一个二次型只含平方项，则其矩阵必是对 角矩阵．反之，如果二次型的矩阵为对角矩阵，则该二次型只含平 方项． 只含平方项的二次型称为二次型的标准形． 正如二次曲线方程的化简一样，我们希望能把一般的二次型化 简到只含平方项，即化为标准形．这就要用到线性变换． 定义2 从变量 x1 , x2 ,  , xn 到变量 y1 , y2 ,  , yn 的一组线性关系式        = + + + = + + + = + + + ; , , 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x p y p y p y x p y p y p y x p y p y p y     （4） 叫做一个线性变换．

若记（后文中沿用，不再说明） X2 Y2 y= P=[Pilnxn 线性变换(4)可表示为 x=Py (5) 上式中的矩阵P称为变换矩阵.当P可逆时，(4)或(5)称为可逆线性 变换（或称满秩线性变换、非退化线性变换）；当P不可逆时，则称 为不可逆线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）.当线性变 换（⑤）可逆时，线性变换 y=p-x (5)'称 为(5)的逆变换. 它是与(5)同一实质内容的线性变换.（⑤）与(5)'互为逆变换.今 后我们所关心的，就是用可逆线性变换化简二次型 变量x,x2,,x的二次型f=xA经可逆线性变换x=Py化为 f=(Py)'A(Py)=y(P'AP)y 5

5 上式中的矩阵 称为变换矩阵.当 可逆时，(4)或(5)称为可逆线性 变换(或称满秩线性变换、非退化线性变换)；当 不可逆时，则称 为不可逆线性变换(或称降秩线性变换、退化线性变换)．当线性变 换(5)可逆时，线性变换 (5)′称 为(5)的逆变换． P P P 1 y P x − = 它是与(5)同一实质内容的线性变换．(5)与 互为逆变换．今 后我们所关心的，就是用可逆线性变换化简二次型． (5) 若记(后文中沿用，不再说明) i j n n n n p y y y x x x =              =             = , , [ ] 2 1 2 1 x y P   线性变换(4)可表示为 x = Py （5） ， 变量 x1 , x2 ,  , xn 的二次型 f = xAx 经可逆线性变换 x = Py 化为 f = (Py)A(Py) = y(PAP) y

记B=P'AP,则由B'=(P'AP)=P'A(Py'=P'AP=B知，B也是一个对称 矩阵，yy是新变量y,y2,…,yn的一个二次型.变换前后两个二次 型矩阵A,间的这种关系称为合同关系. 定义3对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P使得 P'AP=B, 则说矩阵A与B合同（或相合），记作A≈B 合同关系具有反身性、对称性与传递性，当矩阵P可逆时，对方 阵A进行的运算PAP称为对A的合同变换，P称为合同因子. 综上可知，如果二次型x'Ax经可逆线性变换化为二次型yB, 则所得二次型的矩阵B必与原二次型矩阵A合同，其合同因子就是 变换矩阵P. 反之，如果对称矩阵A经合同变换PAP化为对称矩阵B,则二次 型xAx必可经可逆线性变换x=Py化为二次型y'By

6 记 ，则由 知， 也是一个对称 矩阵， 是新变量 的一个二次型．变换前后两个二次 型矩阵 间的这种关系称为合同关系． B = PAP B = (PAP) = PA(P) = PAP = B B yBy n y , y , , y 1 2  A,B 则说矩阵 与 合同(或相合)，记作 ． 定义3 对于 阶矩阵 ，如果有 阶可逆矩阵 使得 ， n A,B n P PAP = B A B A~ − B 合同关系具有反身性、对称性与传递性．当矩阵 可逆时，对方 阵 A 进行的运算 PAP 称为对 A 的合同变换， P 称为合同因子． P 综上可知，如果二次型 经可逆线性变换化为二次型 ， 则所得二次型的矩阵 必与原二次型矩阵 合同，其合同因子就是 变换矩阵 ． xAx yBy B A P 反之，如果对称矩阵 经合同变换 化为对称矩阵 ，则二次 型 必可经可逆线性变换 化为二次型 ． A PAP B xAx x = Py y By 