上讲提要 二重积分的概念、性质 fx,Wda=lm∑f5,Ao Towo- f(x,y)≥0 f(x,y)≤0 3
3 上 讲 提 要 二重积分的概念、性质 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i d D i f x y d f → = = ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 D V f x y f x y d V f x y = − 曲 曲
第五节 二重积分 二、二重积分的计算 (一)在直角坐标系下 1.D型域 设有界闭区域D是由曲线y=p(x), y=(x)(g(x)≤，(x)和两条直线x=a,x=b(a≤b)所围 成的区域，称为D,型域，（如图）记作 y y=p(x) y=p(x) a≤x≤b y=0(x) y=0(x) A(x)≤y≤4(x b x a b x
4 第五节 二重积分 二、二重积分的计算 （一）在直角坐标系下 1．Dx型域 设有界闭区域 D 是 由 曲 线 1 y x = ( ) ， 2 y x = ( ) 1 2 ( ( ) ( )) x x 和两条直线x a x b a b = = , ( )所 围 成的区域，称为Dx 型域，(如图)记作 1 2 ( ) ( ) x a x b D x y x o x y 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a b o x y 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) a b
定理 若有界闭区域 a≤x≤b p(x)≤y≤p2(x) fxo存在，且xela小，定积分fx存 在，则累次积分fx,d存在，且有 (d(. 或 ∬f,do=心afxd 5
5 定理 若有界闭区域 D 1 2 ( ) ( ) a x b x y x ( , ) D f x y d 存在，且 x a b [ , ]，定积分 2 1 ( ) ( ) ( , ) x x f x y dy 存 在，则累次积分 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx 存在，且有 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx = 或 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy =
几何解释 设z=f(x,y)≥0 ∬fx,)do=" 2↑ z=f(x,y) V为以D为底，以 4(x z=f(x,y)为顶的曲顶 (x) 柱体的体积。 y=0(x) Vx∈[a,b]过x做垂直 a xx+dxb x 于x轴的平面，得一截 面，其面积为A(x), 6
6 几何解释 设 z f x y = ( , ) 0 ( , ) D f x y d V = 曲 V曲 为 以D 为底，以 z f x y = ( , ) 为 顶 的 曲 顶 柱体的体积。 x a b [ , ]过x 做垂直 于 x 轴的平面，得一截 面，其面积为A x( )， x y z z f x y = ( , ) a x dx + b x 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) A x( )
p2(x) A(x)d 给x一增量d,过x+dx做垂直于x轴的平面，从 而得一小曲顶柱体，其体积 △V≈A(x)dx 故 dW=A)dk=国fox,nd 所以 Va-dv-f(x.dvlx 故 f(d= 7
7 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy = 给x一增量dx，过x dx + 做垂直于x轴的平面，从 而得一小曲顶柱体，其体积 V A x dx ( ) 故 dV A x dx = = ( ) 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] x x f x y dy dx 所以 V曲 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b b x a a x dV f x y dy dx = = 故 ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) [ ( , ) ] b x a x f x y dy dx =