上讲提要 1.不定积分概念、性质、公式 2.不定积分的计算手法： 直接积分法、凑分法 3
3 上 讲 提 要 1．不定积分概念、性质、公式 2．不定积分的计算手法： 直接积分法、凑分法
第一节不定积分 四、换元积分法 (二)第二类换元积分法 定理 设函数x=w()单调、可导，且w'(u)≠0，若 ∫f(w(uy'(u）du=G(u)+c, 则 「f(x)d=G(w'(x)+c 证 w助此 dx 在=fu(uww =f(W(u))=f(x) 故 「f(x)dc=G(y'(x)》+c 4
4 第一节 不定积分 四、换元积分法 （二）第二类换元积分法 定理 设函数x u = ( )单调、可导,且 '( ) 0 u ，若 f u u du G u c ( ( )) '( ) ( ) = + ， 则 1 f x dx G x c ( ) ( ( )) − = + 证 1 1 ( ( )) ( ( )) '( ) '( ) d dG du G x f u u dx du dx u − = = = = f u f x ( ( )) ( ) 故 1 f x dx G x c ( ) ( ( )) − = +
1.含Va2-x2型(a>0) 方法：令x=asint 或x=acost t∈(0，π) 例1.求∫Va2-xd(a>0) Va2-x2 解令x=asint,dk=acostdt,于是 ∫Va-rdk=∫Va-sinlacosd =ofows=5j+o2a-gu+2c +inco)+= inx+xa2-x2+c 2 arcsin 2 5
5 1．含 2 2 a x − 型( 0) a 方法：令 x a t = sin ( , ) 2 2 t − 或 x a t = cos t (0, ) 例1． 求 2 2 a x dx a − ( 0) 解 令x a t dx a tdt = = sin , cos ，于是 2 2 2 2 2 a x dx a a ta tdt − = − sin cos 2 2 2 2 sin 2 cos (1 cos2 ) ( ) 2 2 2 a a t = = + = + + a tdt t dt t c 2 2 2 2 ( sin cos ) arcsin 2 2 2 a a x x t t t c a x c a = + + = + − + t x a 2 2 a x −
例2 2x dx 解法一令x=sint,d=costdt,于是 - t。ot=2j∫sintd =-2c0st+c=-2W1-x2+c 解法二 八-2-* 2.含√a2+x2型(a>0) 方法：令x=atav1c(受 或x=acott t∈(0，π)
6 例 2 2 2 1 x dx − x 解法一 令x t dx tdt = = sin , cos ，于是 2 2 2 2sin cos 2 sin 1 1 sin x t dx tdt tdt x t = = − − 2 = − + = − − + 2cos 2 1 t c x c 解法二 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 1 1 x d x dx dx x x x − = = − − − − 2 = − − + 2 1 x c 2． 含 2 2 a x + 型( 0) a 方法：令x a t = tan ( , ) 2 2 t − 或x a t = cot t (0, )
例1.求 atr 三dx(a>0) 解令x=a tant,.dk=asec2tdt ∫a-+am asec2tdt sectdt In sect+tant+c Va2+x -。 解 令x=tant,d=sec2tdt
7 例 1.求 2 2 1 dx a( 0) a x + 解 令 2 x a t dx a tdt = = tan , sec 2 2 2 2 2 2 1 1 sec tan dx a tdt a x a a t = + + 1 = = + + sec ln sec tan tdt t t c 2 2 2 2 1 ln ln x a x c x a x c a a + = + + = + + + 例 2．求 3 2 3 (1 ) x dx + x 解 令 2 x t dx tdt = = tan , sec t x 2 2 a x + a