第二章矩阵 矩阵是线性代数中最重要的内容之一，它贯穿 于线性代数的各个部分.矩阵也是许多应用学科中 不可缺少的有力工具 本章主要介绍矩阵概念、性质和运算，并把向 量视为特殊矩阵，很自然地引进向量概念及其线性 运算，还介绍矩阵的秩，初等变换，可逆矩阵和分 块矩阵等理论知识，为今后学习打下基础
2 矩阵是线性代数中最重要的内容之一，它贯穿 于线性代数的各个部分．矩阵也是许多应用学科中 不可缺少的有力工具． 本章主要介绍矩阵概念、性质和运算，并把向 量视为特殊矩阵，很自然地引进向量概念及其线性 运算，还介绍矩阵的秩，初等变换，可逆矩阵和分 块矩阵等理论知识，为今后学习打下基础． 第二章 矩 阵
第一节矩阵与向量的概念 一、矩阵的概念 X1-x2+3x3=2) 考察线性方程组 2x1-x2+2x3=0, x1-x2+X3=4, 它是由三个线性方程组成的，每个方程中含有三个未知量x,2,x, 现在隐去三个方程中的未知量x,x2,x3和等号“=”，分离出 各未知量的系数，上述线性方程组可简化成如下数表 32 2 -12 -11 它完全代表了方程组，而且形式更简捷。 数表中的横排称为行，竖排称为列。该数表叫做3行4列的矩阵
3 考察线性方程组 − + = − + = − + = 4, 2 2 0, 3 2, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 它是由三个线性方程组成的，每个方程中含有三个未知量 1 2 3 x x x , , . 一、矩阵的概念 第一节 矩阵与向量的概念 现在隐去三个方程中的未知量 ， ， 和等号“ = ”，分离出 各未知量的系数，上述线性方程组可简化成如下数表 1 x 2 x 3 x 1 1 3 2 2 1 2 0 , 1 1 1 4 − − − 它完全代表了方程组，而且形式更简捷。 数表中的横排称为行，竖排称为列。该数表叫做3行4列的矩阵
定义1由m×n个数a,i=12,,m,j=12,…,m排成m行n列的数表 a11 12 a21 a22 a2n am am2 amn 叫做m行n列矩阵或m×n矩阵，记作A或Amxn 矩阵的记号“[]”也可用“()”代替，二者是通用的. 矩阵A中的mx个数叫做矩阵A的元素，a是矩阵A的第i行 第j列元素，简称(i,j)元.有时矩阵A也简记为[a,]或[a,lmn 元素为实数的矩阵称为实矩阵.元素为复数的矩阵称为复矩阵 本书中的矩阵除特别声明者外，都指实矩阵. 当m=时，A称为n阶方阵或n阶矩阵，并将Am简记为A,· 元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作Om或O mxn
4 定义1 由 m n 个数 aij(i =1,2, ,m, j =1,2, ,n) 排成 m 行 n 列的数表 m m m n n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 叫做 m 行 n 列矩阵或 m n 矩阵，记作 A 或 . A m n 矩阵的记号“[ ]”也可用“（ ）”代替，二者是通用的． 矩阵 中的 个数叫做矩阵 的元素， 是矩阵 的第 行 第 列元素，简称 元． A m n A aij A i j ( , ) i j 元素为实数的矩阵称为实矩阵．元素为复数的矩阵称为复矩阵． 有时矩阵 A 也简记为 [aij] 或 [aij] mn． 本书中的矩阵除特别声明者外，都指实矩阵． 当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，并将 Ann 简记为An ． 元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作 Om n 或 O ．
行数相同且列数也相同的两个矩阵称为同型矩阵， 设有两个同型矩阵A=[a,l和B=[b,]mn,如果它们对应位置的元 素都相等，即 a=b,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n, 则称矩阵A与B相等，记作A=B. 二、向量的概念 定义2n行1列矩阵称为n维列向量，1行n列矩阵称为n维行 向量，n维列向量与n维行向量统称为n维向量，简称向量. 常用表示向量的记号有a,?,x,y,z等 向量就是特殊的矩阵，即一行或一列的矩阵.因此，按矩阵相 等和零矩阵的定义，可得两个向量相等和零向量的概念，不过零向 量记作0.n维向量实质上是一个n元有序数组，它的第i个元素又 称为向量的第i个分量. 5
5 行数相同且列数也相同的两个矩阵称为同型矩阵． 设有两个同型矩阵 和 ，如果它们对应位置的元 素都相等，即 = aij mn A [ ] = bij mn B [ ] , 1,2, , ; 1,2, , , ij ij a b i m j n = = = 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A= B ． 常用表示向量的记号有 α β γ x y z 等. , , , , , 向量就是特殊的矩阵，即一行或一列的矩阵．因此，按矩阵相 等和零矩阵的定义，可得两个向量相等和零向量的概念，不过零向 量记作0． 维向量实质上是一个 元有序数组，它的第 个元素又 称为向量的第 个分量． n i i n 二、向量的概念 定义2 行1列矩阵称为 维列向量，1行 列矩阵称为 维行 向量， 维列向量与 维行向量统称为 维向量，简称向量． n n n n n n n
第二节矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义3两个m×n矩阵A=[a,与B=[b,]的和记作A+B,规定 a1+b1a2+b2…an+bn a21+b2 422+b22… A+B= am+bm am2+bm2.amn+bmn 矩阵加法显然满足下列算律（设A,B,C是同型矩阵）： i A+B=B+A; iⅱ(A+B)+C=A+(B+C). 设矩阵A=[a,],记 -A=[-a], 则侧称-A为矩阵A的负矩阵. 6
6 定义3 两个 m n 矩阵 A =[aij] 与 B =[bij] 的和记作 A+ B ，规定 + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 A B 矩阵加法显然满足下列算律（设 是同型矩阵）： i ； ii ． A,B,C A+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C) 设矩阵 ，记 ， 则称 为矩阵 的负矩阵． [ ] A = aij [ ] − A = −aij − A A 一、矩阵的加法 第二节 矩阵的运算