第二章一元函数微分学 第一节导数的概念 一、实例 1、变速直线运动的瞬时速度 设有质点M沿直线做变速直线运动，其运动规律（函 数)为 5=s(t) 当时间由变到，+△时，其路程的增量 △S=S(t+△t)-S(t) 则M在At时间内，平均速度为v=△=S6+A)-S,) △t △t 3
3 第二章 一元函数微分学 第一节 导数的概念 一、实例 1、变速直线运动的瞬时速度 设有质点 M 沿直线做变速直线运动,其运动规律(函 数)为 s s t = ( ) 当时间由 0 t 变到 0 t t + 时,其路程的增量 0 0 = + − S S t t S t ( ) ( ) 则M 在t时间内,平均速度为 0 0 s S t t S t ( ) ( ) v t t + − = =
瞬时速度v=limv=lim As=lim (t。+△t)-s(t) A1】 A-0△t △1→0 △t 可称其为函数s=s()相对于自变量t的变化率。 2、细胞的增殖速度 设增殖细胞在t时刻的总数为W=N(),则在△t时 间内，细胞的平均增长率为 △NN(t。+△t)-N(t) △t △t 细胞在时刻，的瞬时增长率为 △N lim=lim WN(t+△t)-N(t) AM-→0△t △1-→0 △t 可称为函数N=N(t)相对于自变量t的变化率。 4
4 瞬时速度 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim lim t t t s s t t s t v v t t → → → + − = = = 可称其为函数s s t = ( )相对于自变量t的变化率。 2、细胞的增殖速度 设增殖细胞在t时刻的总数为N N t = ( ),则 在t 时 间内,细胞的平均增长率为 0 0 N N t t N t ( ) ( ) t t + − = 细胞在时刻 0 t 的瞬时增长率为 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t N N t t N t t t → → + − = 可称为函数 N N t = ( )相对于自变量 t 的变化率
二、导数的定义及几何意义 1.定义 定义2-1 设函数y=f(x)在x点的某邻域U(x)内有定 义，当自变量x在x,处有增量△x(x,+△x∈U(x,),函数相应 地有增量 △y=f(x+△x)-f(x,) 若极限 lim Ay=lim f(x,+△x)-f(x) Ax→0△x r→0 △x 存在，则称函数y=f(x)在x,点处可导，此极限值称为函 数y=f(x)在x,点的导数或变化率，记作 大密 df(x) dx x=xo 5
5 二、导数的定义及几何意义 1.定义 定 义2-1 设函数 y f x = ( )在 0 x 点的某邻域 0 U x( )内有定 义,当自变量x在 0 x 处有增量x( 0 x x + 0 U x( )),函数相应 地有增量 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 存 在,则称函数 y f x = ( )在 0 x 点处可导,此极限值称为函 数y f x = ( )在 0 x 点的导数或变化率,记作 0 0 0 0 ( ) ( ); , , x x x x x x dy df x f x y dx dx = = =
如果极限不存在，就称函数f(x)在x,点处不可导。若不可 导，是因为极限为无穷大，为方便，称函数f(x)在x点的 导数为无穷大，记为f'(x)=0。 f(x)=lim I(x)-f() X→X0 x-Xo 若lim Ay=lim f(x+△x)-f(x) =lim f(x)-f(xo) △x→0- △x △x→0 △x x-Xo 与lim Ay lim f(x,+△x)-f(x) -lim f(x)-f(x) △x→0△X△r-→0* △x x→0 x-xo 都存在，分别称为函数f(x)在x点左方可导和右方可导， 其极限值分别称为函数f(x)的左导数和右导数，分别记 为f(x)和()。 结论f(x)在x点可导的充分必要条件是，函数f(x)在x。 点左导数、右导数都存在，且相等
6 结论 f x( )在 0 x 点可导的充分必要条件是,函数 f x( )在 0 x 点左导数、右导数都存在,且相等。 如果极限不存在,就称函数 f x( )在 0 x 点处不可导。若不可 导,是因为极限为无穷大,为方便,称函数 f x( )在 0 x 点的 导数为无穷大,记为 0 f x ( ) = 。 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x − = − 若 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x − − − → → → + − − = = − 与 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim x x x x y f x x f x f x f x x x x x + + + → → → + − − = == − 都存在,分别称为函数 f x( )在 0 x 点左方可导和右方可导, 其极限值分别称为函数 f x( )的左导数和右导数,分别记 为 0 f x( ) − 和 0 f x( ) +
(1)f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，则称f(x) 在开区间(a,b)上是可导。xe(a,),其导数f'(x)称为f)的导 函数，记为 ', d’dx f(x)在x点的导数f'(x)等于导函数f'(x)在x点函数值。 (2)f(x)在(a,b)上可导，且f(a)和f(b)都存在，则 称f(x)在[a,b]上可导。 例1.已知y=x2,求y。 解△y=(x+△x)2-x2=2x△x+(△x)2 △y=2x+Ax △x y'=lim y=lim(2x+△x)=2x △x-→0 △x→0 7
7 (1) f x( )在开区间( , ) a b 内的每一点都可导,则 称 f x( ) 在开区间( , ) a b 上是可导。x a b ( , ),其导数 f x ( )称为 f x( )的导 函数,记为 ( ) ( ), , , dy df x f x y dx dx f x( )在 0 x 点的导数 0 f x ( )等于导函数 f x ( )在 0 x 点函数值。 (2) f x( )在( , ) a b 上可导,且 f a( ) + 和 f b( ) − 都存在,则 称 f x( )在[ , ] a b 上可导。 例1.已知 2 y x = ,求 y 。 解 y 2 2 2 = + − = + ( ) 2 ( ) x x x x x x y x = + 2x x 0 lim x y y → x = 0 lim(2 ) 2 x x x x → = + =