例如 Bu lim f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) ,n 元函数 Ex △x-→0 △x 2=f(x,x2,…,xn),有n个偏导数 ax'ax2’ 0x (3)求偏导数，只需将其余变量看成常量，对一个变量 求一元函数导数，方法同一元函数求导。 (4)偏导数存在未必连续。 x2+y2≠0 在(0,0)点偏导数存 0 x2+y2=0 在，但在(0,0)点不连续。 8
8 例 如 u x 0 ( , , ) ( , , ) limx f x x y z f x y z → x + − = ，n 元函数 1 2 ( , , , )n z f x x x = ，有n 个偏导数 1 z x , 2 z x ,…, n z x （3）求偏导数，只需将其余变量看成常量，对一个变量 求一元函数导数，方法同一元函数求导。 （4）偏导数存在未必连续。 例 2 2 2 2 2 2 0 ( , ) 0 0 xy x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0) 点偏导数存 在，但在(0,0)点不连续
证f'(0,0)=lim f(0+△x,0)-f(0,0) △x→0 △x 0- lim 0=0 △x-→0 △x (0,0)=lim f(0,0+△x)-f0,0) △y->0 △y 0=0 0- lim Ay-0△y 由此f(x,y)在(0,0)点关于x,关于y的偏导数都存在。 由上讲可知limf(x,)=1im,子 y x-→0 y-→0 ，不在，所以数 y-→0 f(x,y)在(0,0)点不连续。 9
9 证 0 (0 ,0) (0,0) x (0,0) lim x f x f f → x + − = 0 0 0 lim 0 →x x − = = 0 (0,0 ) (0,0) y (0,0) lim y f x f f → y + − = 0 0 0 lim 0 →y y − = = 由此 f x y ( , )在(0,0)点关于x，关于y的偏导数都存在。 由上讲可知 2 2 0 0 0 0 lim ( , ) lim x x y y xy f x y → → x y → → = + 不存在，所以函数 f x y ( , )在(0,0)点不连续
3. 几何意义 z=f(x,y)表示空间上一张曲面 (1)f(xy)表示空间曲线 ==f(x.y) (y=Yo APB在P(x,乃o,f(x0,)》点处的 切线的斜率tana; (2)f(x%)表示空间曲线 D z=f(x,y) X=X0 CPD在PB(xo,o,f(x,y)》点处切 线的斜率tanB。 10
10 3．几何意义 z f x y = ( , )表示空间上一张曲面 （1） 0 0 ( ) x f x y 表示空间曲线 0 z f x y ( , ) y y = = AP B0 在 0 0 0 0 0 P x y f x y ( , , ( , ))点处的 切线的斜率tan； （2） 0 0 ( ) y f x y 表示空间曲线 C 0 z f x y ( , ) x x = = CP D0 在 0 0 0 0 0 P x y f x y ( , , ( , ))点处切 线的斜率tan 。 y z x P0 D S A B T o
4.计算 例1已知f(x,y)=2x2y+3xy2+4x-9,求f(0,4),f(1,2)。 解f(x,y)=4xy+3y2+4,则f(0,4)=52 f(x,y)=2x2+6xy,则f(1,2)=14 例2已知：=x,求证x+L空=2： yOx Inx ay 证 因为 02 8x =x1 =x'Inx 8y 所以 x+1 1 x%Inx yox =xx+ Inx ay y Inx x'+x'=2x'=2z 11
11 4．计算 例 1 已知 2 2 f x y x y xy x ( , ) 2 3 4 9 = + + − ，求 (0,4) x f , (1,2) y f 。 解 2 ( , ) 4 3 4 x f x y xy y = + + ,则 f x (0,4) 52 = 2 f x y x xy y ( , ) 2 6 = + ,则 f y (1,2) 14 = 例 2 已知 y z x = ，求证 1 2 ln x z z z y x x y + = 证 因为 z y 1 yx x − = ln z y x x y = 所以 1 ln x z z y x x y + 1 1 ln ln x y y yx x x y x − = + 2 2 y y y x x x z + = =