上讲提要 1.多元复合函数微分法 2.多元隐函数微分法 3
3 上 讲 提 要 1．多元复合函数微分法 2．多元隐函数微分法
第四节多元函数的极值 一.二元函数的极值 (一)概念 定义4-6若函数z=f(x,y)在(x,)点的某邻域U(x)》 内有定义，且(x,y)∈U(x,),总有f(x,y)<f(x,) 或f(x,y)>f(x,y),则称函数在点(xo,)有极大值或极 小值f(xo,y),(x,)点为极大值点或极小值点。 例1.函数z=√R2-x2-y2(R>0)在(0,0)点有极大值R, (0,0)点为极大值点
4 第四节 多元函数的极值 一．二元函数的极值 （一）概念 定义 4-6 若函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点的某邻域 0 0 U x y (( , )) 内有定义，且 0 0 ( , ) (( , )) x y U x y ，总有 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 或 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) ，则称函数在点 0 0 ( , ) x y 有极大值或极 小值 0 0 f x y ( , )， 0 0 ( , ) x y 点为极大值点或极小值点。 例 1．函数 2 2 2 z R x y = − − ( 0) R 在(0,0) 点有极大值 R， (0,0)点为极大值点
例2.z=xy在(0,0)点不取极值 事实上，在U(0,0)内总有函数值为正的点，也总有 函数值为负的点，故函数在(0,0)点不取极值。 定义若函数z=f(x,y)在(xoy)点具有偏导数，且 f(x,)=0,f(x,y)=0则称(x,)点为函数的驻点。 (二)判别法 定理4-3（极值存在的必要条件)若函数z=f(x,y)在 (x,)点处取得极值，且偏导数存在，则有 f(x0,o)=0,f(x,%)=0 证 不妨设f(x,y)在(x,)点处取极大值 故(x,y)∈U(x,y)都有f(x,y)<f(xo,o) 5
5 例 2．z xy = 在(0,0)点不取极值 事实上,在U((0,0))内总有函数值为正的点，也总有 函数值为负的点,故函数在(0,0)点不取极值。 定 义 若函数 z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点具有偏导数，且 0 0 f x y x ( , ) 0 = ， 0 0 f x y y ( , ) 0 = 则称 0 0 ( , ) x y 点为函数的驻点。 （二）判别法 定理 4-3 （极值存在的必要条件）若函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点处取得极值，且偏导数存在，则有 0 0 f x y x ( , ) 0 = , 0 0 f x y y ( , ) 0 = 证 不妨设 f x y ( , )在 0 0 ( , ) x y 点处取极大值 故 0 0 ( , ) (( , )) x y U x y 都有 0 0 f x y f x y ( , ) ( , )
特别在U(x,)内取y=,x≠x的点也有 f(x,yo)<f(xo-yo) 于是，f(x,)可看做关于x的一元函数，且f(x,y)在x=x 点取得极大值，因而必有 =0,即f(xy)=0 同理可证f(xo%)=0 说明(1)偏导数存在的极值点一定为驻点： (2)驻点未必是极值点，例如z=xy,:=y,)=x, 故z(0,0)=0,2,(0,0)=0,所以(0,0)点为驻点
6 特别在 0 0 U x y (( , ))内取 0 0 y y x x = , 的点也有 0 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 于是， 0 0 f x y ( , )可看做关于x的一元函数，且 f x y ( , )在 0 x x = 点取得极大值，因而必有 0 0 ( , ) 0 x x d f x y dx = = ,即 0 0 f x y x ( , ) 0 = 同理可证 0 0 f x y y ( , ) 0 = 说明(1)偏导数存在的极值点一定为驻点； (2)驻点未必是极值点，例如z xy = , x z y = , y z x = , 故z x (0,0) 0 = ，z y (0,0) 0 = ,所以(0,0)点为驻点
由上例题可知(0,0)点不是极值点。 定理4-4（极值存在的充分条件）设函数z=f(x,y)在 (xo,y)点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 f(xo,yo)=0,f(xo,%)=0, 令A=f0(x),B=f"(0,6),C=f(xo,6),则 (1)当B2-AC<0时，若A>0,则f(xy)是极小值；若 A<0,则f(x,)是极大值： (2)当B2-AC>0时，则f(x,%)不是极值； (3)当B2-AC=0时，则f(x,)是否为极值需另讨论；
7 由上例题可知(0,0)点不是极值点。 定 理 4-4 （极值存在的充分条件）设函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 0 0 f x y x ( , ) 0 = , 0 0 f x y y ( , ) 0 = ， 令 0 0 ( , ) A f x y xx = ， 0 0 ( , ) B f x y xy = , 0 0 ( , ) C f x y yy = ,则 (1)当 2 B AC − 0时，若 A 0,则 0 0 f x y ( , )是极小值；若 A 0，则 0 0 f x y ( , )是极大值； (2)当 2 B AC − 0时，则 0 0 f x y ( , )不是极值； (3)当 2 B AC − = 0时，则 0 0 f x y ( , )是否为极值需另讨论；