微分方程是十七、十八世纪产生的一个新的数学分 支，它为寻找变量之间的函数关系提供了新的方法。自 微分方程产生以来，它就有着极其广泛的应用。如在医 药学中，药物吸收与排泄过程，疾病的传播方式，人口 的增长理论，肿瘤的生长规律等等。在药物动力学、微 生物动力学中充分显示了它的应用前景。 在科学研究中，寻求变量之间的函数关系十分重 要。 微分学： f(x)→f'(x)或df(x)=f'(x)dk 积分学： f(x)=F'(x)→F(x) 但通常无法确定变量间的函数关系，只能建立这些 变量和导数间关系式，通过这个关系式来寻求函数关 系。这就是微分要方程要讨论的问题。 3
3 微分方程是十七、十八世纪产生的一个新的数学分 支，它为寻找变量之间的函数关系提供了新的方法。自 微分方程产生以来，它就有着极其广泛的应用。如在医 药学中，药物吸收与排泄过程，疾病的传播方式，人口 的增长理论，肿瘤的生长规律等等。在药物动力学、微 生物动力学中充分显示了它的应用前景。 在科学研究中，寻求变量之间的函数关系十分重 要。 微分学： f x( ) f x ( )或df x f x dx ( ) ( ) = 积分学： f x F x ( ) ( ) = F x( ) 但通常无法确定变量间的函数关系，只能建立这些 变量和导数间关系式，通过这个关系式来寻求函数关 系。这就是微分要方程要讨论的问题
第五章 微分方程基础 第一节一般概念 一.实例 1.预备知识 方程含有未知量的等式，称为方程 说明 (1)未知量可以是变量（数），也可以是函数， (2)对未知量施加不同的运算，便会得到不同的方程， 例如，未知量是一变量x变量)时， ①对其施加代数运算，便得到代数方程，如： x2+2x-1=0 4
4 第五章 微分方程基础 第一节 一般概念 一．实例 1．预备知识 方程 含有未知量的等式，称为方程 说明 (1)未知量可以是变量（数），也可以是函数， (2)对未知量施加不同的运算，便会得到不同的方程， 例如，未知量是一变量（x 变量）时， ①对其施加代数运算，便得到代数方程，如： 2 x x + − = 2 1 0
②对其施加三角运算，便得到三角方程，如： sinx+cosx =1,tanx-1=0 (3)若未知量是函数，对其施加微分运算，便会得到微 分方程。 2.实例 例1.一曲线过M(1,2)点，且在该曲线上任意一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x,求这曲线方程。 解设所求曲线方程y=f(x) -2x,放=2x,两边积分∫-2 依题意dx 以=1 y=x2+c,将=1代入上式=1，故所求方程y=x2+1 5
5 ② 对 其 施 加 三 角 运 算 , 便 得 到 三 角 方 程 ， 如 ： sin cos 1,tan 1 0 x x x + = − = （3）若未知量是函数，对其施加微分运算，便会得到微 分方程。 2．实例 例 1.一曲线过 M(1,2)点，且在该曲线上任意一点M x y ( , ) 处的切线的斜率为2x ，求这曲线方程。 解 设所求曲线方程y f x = ( ) 依题意 1 2 1 x d y x d x y = = = ，故dy xdx = 2 ，两边积分 dy xdx = 2 2 y x c = + ，将 1 1 x y = = 代入上式c =1 ，故所求方程 2 y x = +1
y=x2+c皆满足=2，而y=x+c视为=x2上、下平 dx 移c个单位，且每条曲线上横坐标相同时，切线平行。 例2.质量为m的物体从空中自由下落（忽略空气阻力 不计)，己知物体下落初始位置时的位移为S。=0,速度 为，=0，求物体下落的路程S /y=x2+1 与时间t的关系。 解设路程S与时间t的关系 s=s(t) 6
6 2 y x c = + 皆满足 2 dy x dx = ,而 2 y x c = + 视为 2 y x = 上、下平 移| | c 个单位，且每条曲线上横坐标相同时，切线平行。 例 2．质量为 m 的物体从空中自由下落（忽略空气阻力 不计），已知物体下落初始位置时的位移为 0 S = 0，速度 为v0 = 0，求物体下落的路程 S 与时间 t 的关系。 解 设路程 S 与时间 t 的关系 s s t = ( ) o x y 2 y x = +1
d's dr =8 依题意 S0=0=0 s1==0 ds ds dt gdt =8t+C dt ds (gt +c)dt s= 28r2+ct+6 将 S1=0=50=0 代入上边两式9=0，C2=0 s0=0=0 1 故所求的路程与时间关系一28r >
7 依题意 2 2 0 0 0 0 0 0 t t d s g d t s s s v = = = = = = = ds d gdt dt = 1 ds gt c dt = + 1 ds gt c dt = + ( ) 2 1 2 1 2 s gt c t c = + + 将 0 0 0 0 0 0 t t s s s v = = = = = = 代入上边两式 1 2 c c = = 0, 0 故所求的路程与时间关系 1 2 2 s gt =