53913.2多重积分及其基本性质推论13.2.6.设A为可求体积的连通闭集，于为A中的连续函数.如果g是A中不变号的可积函数，则存在EEA，使得fg=f() /C口证明.利用积分中值定理和连续函数的介值定理即可习题13.21.类比于R2,试给出R"中零测集的定义2.证明，n维矩形的边界是Rn中的零体积集；R"中的超平面是零测集3.设f在n维矩形I中可积，JCI为子矩形.则f在J中也可积4.设A可求体积且体积为零，则任何有界函数在A中均可积且积分为零5.设A可求体积，f.g在A中可积，则max(f.g)和min(f.9)也在A中可积.6.设A,B可求体积且ACB,则B\A可求体积,且(B\A)=(B)-v(A)7.设A可求体积，则A也可求体积且(A)=(A)8.设Ai,…，A为可求体积的有界集合，则AiU..UA可求体积，且(AiU...UAk) -ZZ (-1)-u(A. n...nA.).i1Sji<Sk进一步将上式推广到函数积分的情形.9.设f为矩形I上的非负连续函数，则/≥0,且等号成立当且仅当f=0.10.设f>0为矩形1上的可积函数，则积分f>011.利用积分中值定理，证明drdy1.96≤<2100 + cos2 + cos2 y[/+1/≤1012.设为连续函数，求极限limf(r,y)drdyr→0+元r222+y?≤r
§13.2 多重积分及其基本性质 53 推论 13.2.6. 设 A 为可求体积的连通闭集, f 为 A 中的连续函数. 如果 g 是 A 中不变号的可积函数, 则存在 ξ ∈ A, 使得 ∫ A fg = f(ξ) ∫ A g, 证明. 利用积分中值定理和连续函数的介值定理即可. 习题 13.2 1. 类比于 R 2 , 试给出 R n 中零测集的定义. 2. 证明, n 维矩形的边界是 R n 中的零体积集; R n 中的超平面是零测集. 3. 设 f 在 n 维矩形 I 中可积, J ⊂ I 为子矩形. 则 f 在 J 中也可积. 4. 设 A 可求体积且体积为零, 则任何有界函数在 A 中均可积且积分为零. 5. 设 A 可求体积, f, g 在 A 中可积, 则 max{f, g} 和 min{f, g} 也在 A 中可积. 6. 设 A, B 可求体积且 A ⊂ B, 则 B \ A 可求体积, 且 v(B \ A) = v(B) − v(A). 7. 设 A 可求体积, 则 A¯ 也可求体积且 v(A¯) = v(A). 8. 设 A1, · · · , Ak 为可求体积的有界集合, 则 A1 ∪ · · · ∪ Ak 可求体积, 且 v ( A1 ∪ · · · ∪ Ak ) = ∑ k i=1 ∑ 1≤j1<···<ji≤k (−1)i−1 v ( Aj1 ∩ · · · ∩ Aji ) . 进一步将上式推广到函数积分的情形. 9. 设 f 为矩形 I 上的非负连续函数, 则 ∫ I f ≥ 0, 且等号成立当且仅当 f ≡ 0. 10. 设 f > 0 为矩形 I 上的可积函数, 则积分 ∫ I f > 0. 11. 利用积分中值定理, 证明 1.96 ≤ ∫∫ |x|+|y|≤10 dxdy 100 + cos2 x + cos2 y < 2. 12. 设 f 为连续函数, 求极限 lim r→0+ 1 πr2 ∫ ∫ x2+y2≤r 2 f(x, y) dxdy.
54第十三章多元函数的积分重积分的计算813.3我们现在讨论重积分的计算问题，重积分的一个常用的计算方法就是转化为一元函数的积分去处理。我们先以矩形上的二重积分为例加以说明设f(,y)为矩形I=[a,]×[c,d] 中的有界函数.对于每一个固定的E[a,b]f(z,y)可以看成区间[c,d]中关于y的函数，它在[c,d]中的下积分和上积分分别记为(a)和(a),这样我们就得到了定义在[a,b中的两个有界函数.定理13.3.1.设f(，9)在I中可积，则()和(r)在[a,可中均可积，且[ f = / 0(n) dar = / (a) dr.证明用记号元1，元2分别表示[a,b]和[c,d]的分割：Ti:a=To<i<...<Tm=b,2:c=o<y1<..<yn=d,I的相应分割记为π=π×元2.因为于在I中可积，故任给=>0，存在8>0,当1元l<时[f-e<Ef(su)o()< /f+e, VE =(s,n)elg,特别地，当元1ll8/V2，/元2ll<8/V2时，上式成立.此时有I- ()rf(s,n)Arysupij ngelyj-1 ys]因为”inff(Si,ni)Ayi是函数f(Si,y)在[c,d)上的Darboux下和，故ne[-i,]2inff(Si,ni)Ayi≤p(s)[-1, ]同理nAsupf(Si,n)Ayi≥b(E)j-ine[j-1,3]因此我们得到(s)Ari≤(s)Ari=1口这说明()和(a)在[a,b] 中均可积，且积分等于f在I中的积分
54 第十三章 多元函数的积分 §13.3 重积分的计算 我们现在讨论重积分的计算问题. 重积分的一个常用的计算方法就是转化为一 元函数的积分去处理. 我们先以矩形上的二重积分为例加以说明. 设 f(x, y) 为矩形 I = [a, b] × [c, d] 中的有界函数. 对于每一个固定的 x ∈ [a, b], f(x, y) 可以看成区间 [c, d] 中关于 y 的函数, 它在 [c, d] 中的下积分和上积分分别 记为 ϕ(x) 和 ψ(x), 这样我们就得到了定义在 [a, b] 中的两个有界函数. 定理 13.3.1. 设 f(x, y) 在 I 中可积, 则 ϕ(x) 和 ψ(x) 在 [a, b] 中均可积, 且 ∫ I f = ∫ b a ϕ(x) dx = ∫ b a ψ(x) dx. 证明. 用记号 π1, π2 分别表示 [a, b] 和 [c, d] 的分割: π1 : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, π2 : c = y0 < y1 < · · · < yn = d, I 的相应分割记为 π = π1 × π2. 因为 f 在 I 中可积, 故任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 kπk < δ 时 ∫ I f − ε < ∑ ij f(ξij )σ(Iij ) < ∫ I f + ε, ∀ ξij = (ξi , ηj ) ∈ Iij . 特别地, 当 kπ1k < δ/√ 2, kπ2k < δ/√ 2 时, 上式成立. 此时有 ∫ I f − ε ≤ ∑ ij inf ηj∈[yj−1, yj ] f(ξi , ηj )∆xi∆yj ≤ ∑ ij sup ηj∈[yj−1, yj ] f(ξi , ηj )∆xi∆yj ≤ ∫ I f + ε, 因为 ∑n j=1 inf ηj∈[yj−1, yj ] f(ξi , ηj )∆yj 是函数 f(ξi , y) 在 [c, d] 上的 Darboux 下和, 故 ∑n j=1 inf ηj∈[yj−1, yj ] f(ξi , ηj )∆yj ≤ ϕ(ξi). 同理 ∑n j=1 sup ηj∈[yj−1, yj ] f(ξi , ηj )∆yj ≥ ψ(ξi). 因此我们得到 ∫ I f − ε ≤ ∑m i=1 ϕ(ξi)∆xi ≤ ∑m i=1 ψ(ξi)∆xi ≤ ∫ I f + ε. 这说明 ϕ(x) 和 ψ(x) 在 [a, b] 中均可积, 且积分等于 f 在 I 中的积分.
913.3重积分的计算55推论13.3.2.设于(z,y)在矩形I中可积.如果对于每一个E[a,b],变量y的函数于(t,)在[c,叫]中可积，则Jf= / da / (r,)dy.同理，如果对于每一个yE[c,d]，变量的函数f(,y)在[a,b] 中可积，则I - u J' () da.推论13.3.3.设f(z,3)为矩形I中的连续函数，则有[,f= d /(,)= / (a,da,上式最左边为重积分.右边称为累次积分对于多重积分，类似的结果也成立。例如，三重积分在一定条件下可以化为二重积分和一重积分.例13.3.1.设I=[0,1]×[0,1],计算积分ydrdy(1 + r2 + y2)解.被积函数是连续函数，因此ydyydrdydr(1++）=Jo(1+r2+y2)12+V2dr=InV1++2)1+V3例13.3.2.设I=[0,1]×[0,1],计算积分于f,其中[i--y,a+y≤l,f(a,y) =0,a+y>1.解.函数于为连续函数，故f=f(a,y)dydrdr(1-r-y)dy= /(1-a) de=
§13.3 重积分的计算 55 推论 13.3.2. 设 f(x, y) 在矩形 I 中可积. 如果对于每一个 x ∈ [a, b], 变量 y 的函数 f(x, y) 在 [c, d] 中可积, 则 ∫ I f = ∫ b a dx ∫ d c f(x, y) dy. 同理, 如果对于每一个 y ∈ [c, d], 变量 x 的函数 f(x, y) 在 [a, b] 中可积, 则 ∫ I f = ∫ d c dy ∫ b a f(x, y) dx. 推论 13.3.3. 设 f(x, y) 为矩形 I 中的连续函数, 则有 ∫ I f = ∫ b a dx ∫ d c f(x, y) dy = ∫ d c dy ∫ b a f(x, y) dx, 上式最左边为重积分, 右边称为累次积分. 对于多重积分, 类似的结果也成立. 例如, 三重积分在一定条件下可以化为二 重积分和一重积分. 例 13.3.1. 设 I = [0, 1] × [0, 1], 计算积分 ∫∫ I y dxdy (1 + x 2 + y 2) 3 2 . 解. 被积函数是连续函数, 因此 ∫∫ I y dxdy (1 + x 2 + y 2) 3 2 = ∫ 1 0 dx ∫ 1 0 y dy (1 + x 2 + y 2) 3 2 = ∫ 1 0 ( 1 √ 1 + x 2 − 1 √ x 2 + 2 ) dx = ln 2 + √ 2 1 + √ 3 . 例 13.3.2. 设 I = [0, 1] × [0, 1], 计算积分 ∫ I f, 其中 f(x, y) = 1 − x − y, x + y ≤ 1, 0, x + y > 1. 解. 函数 f 为连续函数, 故 ∫ I f = ∫ 1 0 dx ∫ 1 0 f(x, y) dy = ∫ 1 0 dx ∫ 1−x 0 (1 − x − y) dy = ∫ 1 0 1 2 (1 − x) 2 dx = 1 6
56第十三章多元函数的积分例13.3.3.设I=[0,1]3=[0,1]×[0,1]×[0,1],计算积分drdydzI(1+r+y+z)3解.被积函数是连续函数，因此dzdrdydzdrduI(1+r+y+z)3(1++y+2)3IT++-2++)-(d+=2+T(2+T3+T)(5ln2-3ln3)现在我们讨论一般区域上重积分化累次积分的问题，这往往可以通过考虑矩形上的积分予以解决定理13.3.4.设ACR2为可求面积的有界集合，f：A→R为有界连续函数记A在工轴上的垂直投影为I=(rER|存在y使得(z,y)EA)如果对于每一点EI,A=(yERI(a,y)EA)是区间（可退化为一点）,则(f= / d /.f(a,y)dy.同理，记A在y轴上的垂直投影为J=(yER存在r使得(r,y)EA)如果对于每一点yEJ,A=(ERI(,y)EA)是区间（可退化为一点），则(. f = / dy /f(a,y)da.证明.因为A可求面积，f有界连续，故f可积.取包含A的矩形[a,矿×[c,d]则 fA在[a,l] ×[c,d] 中可积.当 a E I 时, fA(a,y)关于y在[c,d] 中的积分等于连续函数f(,y)关于y在区间A中的积分.当rE[a,b]nIc时fA(r,y)=0.因此,对于每一个E[a,b],fA(,y)关于y在[c,d] 中均可积，从而有fA=fa(r,y)d[a,b] ×[e,d]fA(r,y) dy =f(r,y)dydadr关于y轴投影的结果完全类似口
56 第十三章 多元函数的积分 例 13.3.3. 设 I = [0, 1]3 = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1], 计算积分 ∫ I dxdydz (1 + x + y + z) 3 . 解. 被积函数是连续函数, 因此 ∫ I dxdydz (1 + x + y + z) 3 = ∫ 1 0 dx ∫ 1 0 dy ∫ 1 0 dz (1 + x + y + z) 3 = ∫ 1 0 dx ∫ 1 0 1 2 [ 1 (1 + x + y) 2 − 1 (2 + x + y) 2 ] dy = ∫ 1 0 1 2 [( 1 1 + x − 1 2 + x ) − ( 1 2 + x − 1 3 + x )]dx = 1 2 (5 ln 2 − 3 ln 3). 现在我们讨论一般区域上重积分化累次积分的问题, 这往往可以通过考虑矩形 上的积分予以解决. 定理 13.3.4. 设 A ⊂ R 2 为可求面积的有界集合, f : A → R 为有界连续函数. 记 A 在 x 轴上的垂直投影为 I = {x ∈ R |存在 y 使得 (x, y) ∈ A}. 如果对于每一点 x ∈ I, Ax = {y ∈ R |(x, y) ∈ A} 是区间 ( 可退化为一点 ), 则 ∫ A f = ∫ I dx ∫ Ax f(x, y) dy. 同理, 记 A 在 y 轴上的垂直投影为 J = {y ∈ R |存在 x 使得 (x, y) ∈ A}. 如果对于每一点 y ∈ J, Ay = {x ∈ R |(x, y) ∈ A} 是区间 ( 可退化为一点 ), 则 ∫ A f = ∫ J dy ∫ Ay f(x, y) dx. 证明. 因为 A 可求面积, f 有界连续, 故 f 可积. 取包含 A 的矩形 [a, b] × [c, d], 则 fA 在 [a, b] × [c, d] 中可积. 当 x ∈ I 时, fA(x, y) 关于 y 在 [c, d] 中的积分等于连 续函数 f(x, y) 关于 y 在区间 Ax 中的积分. 当 x ∈ [a, b] ∩ I c 时 fA(x, y) = 0. 因此, 对于每一个 x ∈ [a, b], fA(x, y) 关于 y 在 [c, d] 中均可积, 从而有 ∫ A f = ∫ [a,b]×[c,d] fA = ∫ b a dx ∫ d c fA(x, y) dy = ∫ I dx ∫ d c fA(x, y) dy = ∫ I dx ∫ Ax f(x, y) dy. 关于 y 轴投影的结果完全类似.
57913.3重积分的计算y2(r)ArAAyn(a)01Ub图13.5多重积分的投影法注.只要f在A中可积，且f(t,y)关于y在每一个区间A中可积，则定理的第一个结论仍然成立，第二个结论类似定理中的这种计算重积分的方法称为“投影法”设 1()≤y2()为[a,中定义的连续函数,考虑有界集合A=((r,y)eRlyi(r)≤y≤y(r),a≤r≤b),其边界为零测集，因此A可求面积.A和与工轴垂直的直线的交要么为空集，要么为区间，因此得到定理13.3.5.设91,92和A如上，函数：A→R可积，且对于每一个E[a,b],关于y的积分(92(z)f(r,y)dy(r存在，则y2(r)f(r,y)dy.口证明.证明和上一定理类似，略，同样，如果A形如A[(r,y)eR2lri(y)≤r≤a2(y), c≤y≤d),i(y)r2(y)在类似条件下就有1(yf=f(a,y)da.T(y0对于一般的n重积分，类似的结果也成立（把区间换图13.6向y轴的投影成矩形，我们仅举例说明
§13.3 重积分的计算 57 A x 0 { I { Ax A y2(x) y1(x) 0 y a x b 图 13.5 多重积分的投影法 注. 只要 f 在 A 中可积, 且 f(x, y) 关于 y 在每一个区间 Ax 中可积, 则定理的 第一个结论仍然成立, 第二个结论类似. 定理中的这种计算重积分的方法称为 “投 影法”. 设 y1(x) ≤ y2(x) 为 [a, b] 中定义的连续函数, 考虑有界集合 A = {(x, y) ∈ R 2 | y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b}, 其边界为零测集, 因此 A 可求面积. A 和与 x 轴垂直的直线的交要么为空集, 要么 为区间, 因此得到 定理 13.3.5. 设 y1, y2 和 A 如上. 函数 f : A → R 可积, 且对于每一个 x ∈ [a, b], 关于 y 的积分 ∫ y2(x) y1(x) f(x, y) dy 存在, 则 ∫ A f = ∫ b a dx ∫ y2(x) y1(x) f(x, y) dy. 证明. 证明和上一定理类似, 略. A x1(y) x2(y) 0 x c d y 图 13.6 向 y 轴的投影 同样, 如果 A 形如 {(x, y) ∈ R 2 | x1(y) ≤ x ≤ x2(y), c ≤ y ≤ d}, 在类似条件下就有 ∫ A f = ∫ d c dy ∫ x2(y) x1(y) f(x, y) dx. 对于一般的 n 重积分, 类似的结果也成立 (把区间换 成矩形), 我们仅举例说明.