48第十三章多元函数的积分注.从命题的证明还可以看出，因为矩形的边界为零测集，在零测集定义中将“闭矩形”换成“开矩形”也是可以的设f：A-→R为有界函数，EA.在处的振幅定义为w(f,a) = lim+ sup(lf(r1) - f(z2) : 1, r2 E B(n)nA).易见，f在处连续当且仅当w(f,a)=0.设>0,记Ds=(EA|w(f,)≥),则的间断点（不连续点）全体为DF=UDn=1定理13.1.8(Lebesgue)。设于为矩形中定义的有界函数，则于可积当且仅当于的间断点集D，为零测集.证明.这个定理的证明和一元函数相应的Lebesgue定理的证明没有本质不同，口只要注意使用本节Darboux定理证明中矩形内缩的技巧即可，留作练习.下面的推论是显然的推论13.1.9.(1)设于是矩形I中定义的可积函数，矩形J包含于I，则于也是J中的可积函数；(2)如果矩形I被有限个矩形[J}所覆盖，且f在每个Ji中都是可积的，则于在I中也是可积的为了研究函数在一般集合（不必为矩形）中的可积性问题，我们先引进可求面积集的概念.设ACR?为平面点集，回忆特征函数XA:R2→R的定义：J1,TEA,XA(r) =0,TA.定义13.1.3（可求面积集)：设A为有界集合，I为包含A的矩形：如果A的特征函数XA在I中可积，则称A为可求面积集，其面积α(A)定义为XA在I中的积分。有界集合A是否可求面积以及面积的大小与定义中矩形I的选取无关.如果A本身就是一个矩形，则按此定义给出的面积和矩形的面积公式给出的面积相同命题13.1.10.设A为有界集合，则A可求面积当且仅当其边界θA为零测集特别地，当A可求面积时，其闭包A也可求面积证明.取矩形IA，且A与I的边界不相交：易见，特征函数XA在I中的间断点集恰为aA.由Lebesgue定理可知A为可求面积集当且仅当aA为零测集口由ACQA可知，当A可求面积时A也可求面积
48 第十三章 多元函数的积分 注. 从命题的证明还可以看出, 因为矩形的边界为零测集, 在零测集定义中将 “闭矩形” 换成 “开矩形” 也是可以的. 设 f : A → R 为有界函数, x ∈ A. f 在 x 处的振幅定义为 ω(f, x) = lim r→0+ sup{|f(x1) − f(x2)| : x1, x2 ∈ Br(x) ∩ A}. 易见, f 在 x 处连续当且仅当 ω(f, x) = 0. 设 δ > 0, 记 Dδ = {x ∈ A | ω(f, x) ≥ δ}, 则 f 的间断点 (不连续点) 全体为 Df = ∪∞ n=1 D 1 n . 定理 13.1.8 (Lebesgue). 设 f 为矩形 I 中定义的有界函数. 则 f 可积当且仅 当 f 的间断点集 Df 为零测集. 证明. 这个定理的证明和一元函数相应的 Lebesgue 定理的证明没有本质不同, 只要注意使用本节 Darboux 定理证明中矩形内缩的技巧即可, 留作练习. 下面的推论是显然的. 推论 13.1.9. (1) 设 f 是矩形 I 中定义的可积函数, 矩形 J 包含于 I, 则 f 也是 J 中的可积函数; (2) 如果矩形 I 被有限个矩形 {Ji} 所覆盖, 且 f 在每个 Ji 中都是可积的, 则 f 在 I 中也是可积的. 为了研究函数在一般集合 (不必为矩形) 中的可积性问题, 我们先引进可求面 积集的概念. 设 A ⊂ R 2 为平面点集, 回忆特征函数 χA : R 2 → R 的定义: χA(x) = 1, x ∈ A, 0, x /∈ A. 定义 13.1.3 (可求面积集). 设 A 为有界集合, I 为包含 A 的矩形. 如果 A 的 特征函数 χA 在 I 中可积, 则称 A 为可求面积集, 其面积 σ(A) 定义为 χA 在 I 中 的积分. 有界集合 A 是否可求面积以及面积的大小与定义中矩形 I 的选取无关. 如果 A 本身就是一个矩形, 则按此定义给出的面积和矩形的面积公式给出的面积相同. 命题 13.1.10. 设 A 为有界集合, 则 A 可求面积当且仅当其边界 ∂A 为零测 集. 特别地, 当 A 可求面积时, 其闭包 A¯ 也可求面积. 证明. 取矩形 I ⊃ A¯, 且 A¯ 与 I 的边界不相交. 易见, 特征函数 χA 在 I 中的 间断点集恰为 ∂A. 由 Lebesgue 定理可知 A 为可求面积集当且仅当 ∂A 为零测集. 由 ∂A¯ ⊂ ∂A 可知, 当 A 可求面积时 A¯ 也可求面积.
g13.1二重Riemann积分49有了这些预备，我们可以考虑函数在一般集合中的积分了，为了简单起见，我们只考虑函数在可求面积集中的积分.设A是可求面积的有界集合，f：A→R为A中定义的有界函数，将f零延拓为R2中的函数fA如下：Jf(a), rEA,fA(r) =(o, TER2A.定义13.1.4.设A和f如上，I为包含A的矩形.如果fA在I中可积，则称于在A中可积，其积分定义为fA在I中的积分，即f=f这个定义也和矩形I的选取无关.当A本身就是矩形时，这个定义和矩形中积分的定义是一致的．下面的定理给出了函数在可求面积的集合中可积的判别条件定理13.1.11.设f：A→R是可求面积集合A中定义的有界函数.则f可积当且仅当f在A中的间断点集为零测集.证明.取矩形IA，且A与I的边界不相交.由定义，在A中可积当且仅当fA在I中可积.根据Lebesgue定理，fA可积当且仅当其间断点集为零测集.因为在I\A中A为零，因此fA的间断点都在A中。又由于A为零测集，故fA可积当且仅当fA在A\2A中的间断点集为零测集.在A\OA中fA=f，因此fA可积当且仅当f在A|OA中的间断点集是零测集，也就是说当且仅当f在A中的间断点集为零测集口习题13.11.证明，如果f，g均为矩形I中的可积函数，则fg也是I中的可积函数2.证明，如果f，9分别是[a,b]和[c,d]中的一元可积函数，则f(ar)g(y)是矩形[a,]×[c,d]中的可积函数,3.直接证明只有有限个间断点的有界函数是Riemann可积的4.设函数f(r,y)定义在矩形[a,b] ×[c,d]中，且对于每一个固定的E[a,b],f(a,y)是关于y的单调递增函数,而对于每一个y[c,d,f(r,y)是关于a的单调递增函数.证明于是可积的.5.设非负函数f在矩形I中可积，则V厂在I中也可积6.设是[a,b中的一元连续函数，：I→[a,引]为矩形I中的可积函数，则复合函数fo为矩形I中的可积函数
§13.1 二重 Riemann 积分 49 有了这些预备, 我们可以考虑函数在一般集合中的积分了. 为了简单起见, 我 们只考虑函数在可求面积集中的积分. 设 A 是可求面积的有界集合, f : A → R 为 A 中定义的有界函数, 将 f 零延拓为 R 2 中的函数 fA 如下: fA(x) = f(x), x ∈ A, 0, x ∈ R 2 \ A. 定义 13.1.4. 设 A 和 f 如上, I 为包含 A 的矩形. 如果 fA 在 I 中可积, 则 称 f 在 A 中可积, 其积分定义为 fA 在 I 中的积分, 即 ∫ A f = ∫ I fA. 这个定义也和矩形 I 的选取无关. 当 A 本身就是矩形时, 这个定义和矩形中积 分的定义是一致的. 下面的定理给出了函数在可求面积的集合中可积的判别条件. 定理 13.1.11. 设 f : A → R 是可求面积集合 A 中定义的有界函数. 则 f 可 积当且仅当 f 在 A 中的间断点集为零测集. 证明. 取矩形 I ⊃ A¯, 且 A¯ 与 I 的边界不相交. 由定义, f 在 A 中可积当且仅 当 fA 在 I 中可积. 根据 Lebesgue 定理, fA 可积当且仅当其间断点集为零测集. 因 为在 I \ A¯ 中 fA 为零, 因此 fA 的间断点都在 A¯ 中. 又由于 ∂A 为零测集, 故 fA 可积当且仅当 fA 在 A \ ∂A 中的间断点集为零测集. 在 A \ ∂A 中 fA = f, 因此 fA 可积当且仅当 f 在 A \ ∂A 中的间断点集是零测集, 也就是说当且仅当 f 在 A 中 的间断点集为零测集. 习题 13.1 1. 证明, 如果 f, g 均为矩形 I 中的可积函数, 则 fg 也是 I 中的可积函数. 2. 证明, 如果 f, g 分别是 [a, b] 和 [c, d] 中的一元可积函数, 则 f(x)g(y) 是矩形 [a, b] × [c, d] 中的可积函数. 3. 直接证明只有有限个间断点的有界函数是 Riemann 可积的. 4. 设函数 f(x, y) 定义在矩形 [a, b] × [c, d] 中, 且对于每一个固定的 x ∈ [a, b], f(x, y) 是关于 y 的单调递增函数, 而对于每一个 y ∈ [c, d], f(x, y) 是关于 x 的 单调递增函数. 证明 f 是可积的. 5. 设非负函数 f 在矩形 I 中可积, 则 √ f 在 I 中也可积. 6. 设 f 是 [a, b] 中的一元连续函数, ϕ : I → [a, b] 为矩形 I 中的可积函数, 则复 合函数 f ◦ ϕ 为矩形 I 中的可积函数.
50第十三章多元函数的积分7.设f在矩形I中连续，映射=（P1,P2)：J→I的两个分量均为矩形J中的可积函数，则复合函数foβ为J中的可积函数8.设I,J为矩形，且ICJ.证明特征函数XI在J中可积，且其积分为I的面积.9.设A为R中的零测集证明A×R为R2中的零测集10.设:(a,b)→R2为连续曲线，(t)=(r(t),y(t)).如果(t)或y(t)连续可微则(a,b)）为R2中的零面积集.11.设D(r)是区间[a,矿中定义的Dirichlet函数，它的图像是否为零测集?12.矩形I=[a,b]×[c,d] 中的Dirichlet函数 D(z,y)定义为：当r,y均为有理数时D(r,y)=1,否则D(t,y)=0.证明D(a,y)不可积,再用Lebesgue定理说明矩形不是零测集813.2多重积分及其基本性质前面一节关于二元函数积分的理论可以直接推广多元函数.在n维欧氏空间Rn中，称点集I = [a1,b1] × [a2, b2] ×.. × [an,bn]为一个n维矩形，其直径d(I)和体积w(）分别为d(I) = V(b1 - a1)2 + ... + (bn - an)2, v(I) = (b1 -a1)(b2 - a2) .. (bn - an)设区间[ai,b]（i=1,2,..，n)有分割a=路<<...<rm=bi这时超平面a.=（i=1,2,n;j=0,1,m）将I分割成m..m2m个.小n维矩形Iin=[-,i]xx[-,],1<i≤mi,,1≤in<mn这些小矩形所形成的分割记为元=1×.·×n，定义Iill max (.),.称为分割元的模
50 第十三章 多元函数的积分 7. 设 f 在矩形 I 中连续, 映射 ϕ = (ϕ1, ϕ2) : J → I 的两个分量均为矩形 J 中的 可积函数, 则复合函数 f ◦ ϕ 为 J 中的可积函数. 8. 设 I, J 为矩形, 且 I ⊂ J. 证明特征函数 χI 在 J 中可积, 且其积分为 I 的面 积. 9. 设 A 为 R 中的零测集. 证明 A × R 为 R 2 中的零测集. 10. 设 γ : (a, b) → R 2 为连续曲线, γ(t) = (x(t), y(t)). 如果 x(t) 或 y(t) 连续可微, 则 γ ( (a, b) ) 为 R 2 中的零面积集. 11. 设 D(x) 是区间 [a, b] 中定义的 Dirichlet 函数, 它的图像是否为零测集? 12. 矩形 I = [a, b] × [c, d] 中的 Dirichlet 函数 D(x, y) 定义为: 当 x, y 均为有理数 时 D(x, y) = 1, 否则 D(x, y) = 0. 证明 D(x, y) 不可积, 再用 Lebesgue 定理说 明矩形不是零测集. §13.2 多重积分及其基本性质 前面一节关于二元函数积分的理论可以直接推广多元函数. 在 n 维欧氏空间 R n 中, 称点集 I = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn] 为一个 n 维矩形, 其直径 d(I) 和体积 v(I) 分别为 d(I) = √ (b1 − a1) 2 + · · · + (bn − an) 2, v(I) = (b1 − a1)(b2 − a2)· · ·(bn − an). 设区间 [ai , bi ] (i = 1, 2, · · · , n) 有分割 πi : ai = x i 0 < xi 1 < · · · < xi mi = bi , 这时超平面 xi = x i j (i = 1, 2, · · · , n; j = 0, 1, · · · , mi) 将 I 分割成 m1 · m2 · · · mn 个 小 n 维矩形 Ii1···in = [x 1 i1−1 , x1 i1 ] × · · · × [x n in−1 , xn in ], 1 ≤ i1 ≤ m1, · · · , 1 ≤ in ≤ mn. 这些小矩形所形成的分割记为 π = π1 × · · · × πn, 定义 kπk = max i1···in d(Ii1···in ), 称为分割 π 的模
5113.2多重积分及其基本性质定义13.2.1n维矩形上的Riemann积分).设f：I→R为n维矩形I中定义的函数.如果存在实数A，使得任给ε>0，均存在>0，当ll<时，有Z f(inin)u(lin.in)-A<e, VEiin Elinini..-i.则称f在I中Riemann可积或简称可积，A为f在I中的积分，记为f(a)dr=A=/f=f(ri,...,an)dri...dan多元函数积分的理论与二元函数积分的理论是完全类似的，我们不再重复叙述，只是指出R"中零测集和可求体积集分别对应于R?中的零测集和可求面积集，读者可以自行写出它们的定义下面考虑积分的基本性质命题13.2.1.设AcRn为可求体积，f，g在A中可积.则fg,lfl，入f+μg均可积，其中入,ER，且(af+μg)=X /f+μ/[.g.特别地,有|/,升≤/1]当f≥g时，f≥口证明.只需在矩形中考虑即可，留作练习命题13.2.2.设集合A可求体积，IA为矩形，则I1A可求体积，且(I\A)=(I)-(A).设A,B均可求体积,则AnB,AUB也可求体积，且U(AUB)=(A) +(B)-(AnB)证明.在矩形I中，特征函数XI\A=1-XA，这说明I\A可求体积，且v(I \/ A) =(1 - XA) = V(I) - V(A)同理，由XAnB=XAXB可知AnB可求体积.由XAUB=XA+XB-XANB口可知AUB可积，且(AUB)=(A)+(B)-v(AnB)推论13.2.3.矩形不是零测集证明.设【I}]为至多可数个矩形，它们覆盖了矩形I.不妨设I]均为开矩形根据有限覆盖定理，存在有限个I（iK）使得它们仍然覆盖I.这说明2(I)≤(U1) ≤(1),i<ki≤k口特别地，I不可能为零测集
§13.2 多重积分及其基本性质 51 定义 13.2.1 (n 维矩形上的 Riemann 积分). 设 f : I → R 为 n 维矩形 I 中 定义的函数. 如果存在实数 A, 使得任给 ε > 0, 均存在 δ > 0, 当 kπk < δ 时, 有 ∑ i1···in f(ξi1···in )v(Ii1···in ) − A < ε, ∀ ξi1···in ∈ Ii1···in , 则称 f 在 I 中 Riemann 可积或简称可积, A 为 f 在 I 中的积分, 记为 A = ∫ I f = ∫ I f(x) dx = ∫ · · ·∫ I f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn. 多元函数积分的理论与二元函数积分的理论是完全类似的, 我们不再重复叙 述, 只是指出 R n 中零测集和可求体积集分别对应于 R 2 中的零测集和可求面积集, 读者可以自行写出它们的定义. 下面考虑积分的基本性质. 命题 13.2.1. 设 A ⊂ R n 为可求体积, f, g 在 A 中可积. 则 fg,|f|, λf + µg 均 可积, 其中 λ, µ ∈ R, 且 ∫ A (λf + µg) = λ ∫ A f + µ ∫ A g. 当 f ≥ g 时, ∫ A f ≥ ∫ A g. 特别地, 有 ∫ A f ≤ ∫ A |f|. 证明. 只需在矩形中考虑即可, 留作练习. 命题 13.2.2. 设集合 A 可求体积, I ⊃ A 为矩形, 则 I \ A 可求体积, 且 v(I \ A) = v(I) − v(A). 设 A, B 均可求体积, 则 A ∩ B, A ∪ B 也可求体积, 且 v(A ∪ B) = v(A) + v(B) − v(A ∩ B). 证明. 在矩形 I 中, 特征函数 χI\A = 1 − χA, 这说明 I \ A 可求体积, 且 v(I \ A) = ∫ I (1 − χA) = v(I) − v(A). 同理, 由 χA∩B = χAχB 可知 A ∩ B 可求体积. 由 χA∪B = χA + χB − χA∩B 可知 A ∪ B 可积, 且 v(A ∪ B) = v(A) + v(B) − v(A ∩ B). 推论 13.2.3. 矩形不是零测集. 证明. 设 {Ii} 为至多可数个矩形, 它们覆盖了矩形 I. 不妨设 {Ii} 均为开矩形. 根据有限覆盖定理, 存在有限个 Ii (i ≤ k) 使得它们仍然覆盖 I. 这说明 v(I) ≤ v ( ∪ i≤k Ii ) ≤ ∑ i≤k v(Ii), 特别地, I 不可能为零测集.
52第十三章多元函数的积分命题13.2.4.A为可求体积集且体积为零当且仅当任给ε>0，存在有限个矩形1]，使得AcUi, u(I)<e.证明.设A体积为零，由刚才的推论可知A不含内点，从而ACaA.由A可求体积可知0A为零测集.任给ε>0，存在至多可数个矩形I)，使得AcUI, Zv(I)<e.121i≥1因为A为有界闭集，根据有限覆盖定理，存在k使得AcUi, v(I)<e.iSki<k反之、如果上式成立.则对A也满足上式，这说明A为零测集.特别地QACA为零测集，从而A可求体积.此时(A) ≤(U1) ≤(I) <E,iSA<口由=的任意性可知"(A)=0定理13.2.5（积分中值定理).设A为可求体积的有界集合，f，9为A中的可积函数.如果g在A中不变号，则存在μER，使得fg=μ其中infsup证明.不妨假设g≥0,则(inf f)g()≤f(r)g()≤(supf)g(), E A.由fg可积可得(igff) /g≤/g(sup) /g如果g=0，则上式表明fg在A上的积分也为零，此时μ可任意取值.设g>0,则(fg≤supfiff≤[g令μ=[,q" J fg,口则满足定理的要求
52 第十三章 多元函数的积分 命题 13.2.4. A 为可求体积集且体积为零当且仅当任给 ε > 0, 存在有限个矩 形 {Ii}, 使得 A ⊂ ∪ i Ii , ∑ i v(Ii) < ε. 证明. 设 A 体积为零, 由刚才的推论可知 A 不含内点, 从而 A ⊂ ∂A. 由 A 可 求体积可知 ∂A 为零测集. 任给 ε > 0, 存在至多可数个矩形 {Ii}, 使得 ∂A ⊂ ∪ i≥1 Ii , ∑ i≥1 v(Ii) < ε. 因为 ∂A 为有界闭集, 根据有限覆盖定理, 存在 k 使得 A ⊂ ∪ i≤k Ii , ∑ i≤k v(Ii) < ε. 反之, 如果上式成立, 则对 A¯ 也满足上式, 这说明 A¯ 为零测集. 特别地, ∂A ⊂ A¯ 为 零测集, 从而 A 可求体积. 此时 v(A) ≤ v ( ∪ i≤k Ii ) ≤ ∑ i≤k v(Ii) < ε, 由 ε 的任意性可知 v(A) = 0. 定理 13.2.5 (积分中值定理). 设 A 为可求体积的有界集合, f, g 为 A 中的可 积函数. 如果 g 在 A 中不变号, 则存在 µ ∈ R, 使得 ∫ A fg = µ ∫ A g, 其中 inf A f ≤ µ ≤ sup A f. 证明. 不妨假设 g ≥ 0, 则 (inf A f)g(x) ≤ f(x)g(x) ≤ (sup A f)g(x), ∀ x ∈ A. 由 fg 可积可得 (inf A f) ∫ A g ≤ ∫ A fg ≤ (sup A f) ∫ A g, 如果 ∫ A g = 0, 则上式表明 fg 在 A 上的积分也为零, 此时 µ 可任意取值. 设 ∫ A g > 0, 则 inf A f ≤ [ ∫ A g ]−1 ∫ A fg ≤ sup A f, 令 µ = [ ∫ A g ]−1 ∫ A fg, 则 µ 满足定理的要求.