第四章不定积分 高等数学少学时 第四节有理晶数的不定积分 一、有理函数的概念 二、有理函数的分解 三、有理函数不定积分的求解 四、可化为有理函数的不定积分 北京邮电大学出版社
1 第四节 有理函数的不定积分 一、有理函数的概念 二、有理函数的分解 三、有理函数不定积分的求解 四、可化为有理函数的不定积分
第四章不定积分 高等数学少学时 一、有理函数的概念 定义有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 P(x)aox"+ax+anx+an (1) x)boxm+bxm++bx+b m和n为非负整数，4o,41,…an-1,an及b,b1,…,bm-1,bm 为实数且4，≠0，b。≠0. 当m>n时，(1)式称为真分式，当m≤n时，(1)式称为 假分式. 北京邮电大学出版社 2
2 , 0, 0. , , , , , , , 0 0 0 1 1 0 1 1 − − a b m n a a an an b b bm bm 为实数 且 和 为非负整数， 及 定义 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 一、有理函数的概念 当 m n 时，(1)式称为真分式，当 m n 时，(1)式称为 假分式
第四章不定积分 高等数学少学时 二、有理函数的分解 (1)结论1任一假分式总可化成一个多项式与一个真分式之和. x3+x2+x+2 1 例 x2+1 =(c+0+2 x2+3 （x2-5x+6)+5x-3 5x-3 =1+ x2-5x+6 x2-5x+6 x2-5x+6 (2)结论2一个真分式总可化为几个部分简单真分式的代数和. 5x-3 5x-3 12 7 例 x2-5x+6(-2Xx-3) x-3x-2 北京邮电大学出版社 3
3 二、有理函数的分解 (1)结论1 任一假分式总可化成一个多项式与一个真分式之和. 1 2 2 3 2 + + + + x x x x 例 ( ) 5 6 5 6 5 3 5 6 3 2 2 2 2 − + − + + − = − + + x x x x x x x x 5 6 5 3 1 2 − + − = + x x x 1 1 ( 1) 2 + = + + x x (2)结论2 一个真分式总可化为几个部分简单真分式的代数和. 例 5 6 5 3 2 − + − x x x ( 2)( 3) 5 3 − − − = x x x 2 7 3 12 − − − = x x
第四章不定积分 高等数学少学时 (3)真分式的分解： 对于真分式P) 2(x) ()如果Q(x)有形如(x一)的因子，则 P 的分解式中有 2(x) 下列k个部分分式之和： A A Ak (x-a)k'( (x-a) 其中A,i=1,2,,k为待定常数 北京邮电大学出版社 04
4 (3)真分式的分解: , ( ) ( ) Q x P x 对于真分式 下 列 个部分分式之和： 如 果 有形如 的因子 则 的分解式中有 k Q x P x Q x x a k ( ) ( ) (i) ( ) ( − )
第四章不定积分 高等数学少学时 (的)如果2(x)有质因子孔x2+px+g),则 (x)的分解式 2(x) 中有k个部分分式之和： Mx+N M,x+N, Mx+N (2+px+)2+px+g 十 (x2+px+q) 例 3x2-1 Ax+B Azx+B2 A3x+B3 1+x+x2)1+x2)2= 1+x+x2(1+x2)2 1+x2 (全部上述两种部分分的总和便构成() 的分解式. 2(x) 北京邮电大学出版社 5
5 中 有 个部分分式之和： 如 果 有质因子 则 的分解式 k Q x P x Q x x px q k ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 + + (iii) . ( ) ( ) 全部上述两种部分分式的总和便构成 的分解式 Q x P x 2 1 1 1 x x A x B + ++ 2 2 2 = 2 (1 )(1 ) 3 1 x x x x + + + − 例 2 3 3 2 2 2 2 (1 ) 1 x A x B x A x B ++ + + + + (ii)