第五章定积分 高等数学少学时 一、变上限积分及其导数 1.定义 (x)=∫f()d (a≤x≤b) 复习 2.定理1 D'(x)= 0tw=f(asx≤6） 3.推广 )-n d(）=-naxa(ey dr)-nat 北京邮电大学出版社
1 复习 ( ) ( )d ( ) x a x f t t a x b = 一、变上限积分及其导数 2.定理1 ( ) d ( ) ( )d ( ) d x a x f t t f x a x b x = = 3.推广 1.定义 ( ) d ( ) ( )d [ ( )] ( ) d x a f t t f x x x = ( ( ) ) d ( )d [ ( )] ( ) d a x f t t f x x x = − ( ) ( ) ( ) d ( )d [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) d x x f t t f x x f x x x = −
第五章 定积分 高等数学少学时 二、牛顿-一莱布尼茨公式 1.定理2 ∫f(x)dc=F(b)-F(a) 2.利用牛顿莱布尼茨公式求数列极限 lim n->o0 /(n了rxa=ru-Fo, 1 北京邮电大学出版社 2
2 ( )d ( ) ( ) b a f x x F b F a = − 二、牛顿--莱布尼茨公式 1.定理2 1 0 1 1 lim ( )d (1) (0) n n i i f f x x F F → = n n = = − 2 .利用牛顿-莱布尼茨公式求数列极限
第五章定积分 高等数学少学时 第三节定积分的计算方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、定积分的近似计算 北京邮电大学出版社
3 第三节 定积分的计算方法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法 三、定积分的近似计算
第五章 定积分 高等数学少学时 一、定积分的换元积分法 定理1（换元公式）若f(x)EC[a,bx=pd)满足条件： (1)p(a)=a,p(B)=b; (2)p(t)在[a,B](或[B,a])上具有连续导数且p(t)e[a,b] 则有 ∫fx=∫f[(o]p'() 证·f(x)∈CLa,b],fLp(t)lp'(t)∈C[a,B] →∫nf(x)de及∫fLp(t)o'(t)dt3. 设Fx)是fx)的一个原函数，则 F'(x)=fx)→∫f(x)dr=F(b)-Fa 北京邮电大学出版社
4 t ( ) t a b a b (2) ( ) , , , ( ) , (1) ( ) , ( ) ; = = 在 或 上具有连续导数且 若f (x)Ca,b, x =(t)满足条件: 则有 ( )d d ( ) ( ) b a f x x f t t t = 证 f (x)C[a,b], f[(t)](t)C[, ] ( )d [ ( )] ( )d . 及 b a f x x f t t t 定理1 (换元公式) 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 F(x) = f (x) ( )d ( ) ( ). b a = − f x x F b F a 一、定积分的换元积分法
第五章 定积分 高等数学少学时 设Φ(t)=F[p(t)]是由F(x)与x=p(t)复合而成， 则D'() d5=fx)p'()=fIpp'o dx di -.S"flp(t)lp(t)dt=D(B)-D(a). .Φ(t)=F[p(t),p()=a,p(B)=b→ Φ(B)-Φ(a)=FLp(B川-FLp(a川=F(b)-F(a)→ 'f(x)dx-F()-F(a)-"Se)(dr 证毕 北京邮电大学出版社 5
5 = − f t t t [ ( )] ( )d ( ) ( ). = f ( x ) ( t ) ( ) [ ( )], ( ) , ( ) t F t a b = = = ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) − = − = − F F F b F a f t t t [ ( )] ( )d = ( )d ( ) ( ) ba f x x F b F a = − 证毕 = f [ ( t)] ( t ) d d ( ) d d F x t x t 则 = (t F t F x x t ) = = ( ) ( ) ( ) , 设 是 由 与 复合而 成