第五章定积分 高等数学少学时 第二节微积分基本公式 一、变上限积分及其导数 二、牛顿一莱布尼茨公式 北京邮电大学出版社
1 第二节 微积分基本公式 一、变上限积分及其导数 二、牛顿 — 莱布尼茨公式
第五章 定积分 高等数学少学时 一、变上限积分及其导数 1.定义 设f(x)∈CLa,bl,x∈[a,b1,f(x)在区间[a,x] 定积分与积 上的上限变动的定积分f(x) :分变量无关 -S"f(odr 又确定了一个在[，b]上的新函数， y=f(t) 记作Φ(x),即 D(x)=∫if()dt(a≤x≤b) Φ(x) →f(x)的变上限积分函数 x b X 北京邮电大学出版社 2
2 ( ) ( )d ( ) x a x f t t a x b = ( )d x a f x x ( )d x a f t t 记作 ( x), 定积分与积 分变量无关 一、变上限积分及其导数 1. 定义 又确定了一个在 [ , ] a b 上的新函数， 即 设 f (x)C[a,b], x [a,b], f (x) a, x 上的上限变动的定积分 在区间 O a x b ( ) x y = f (t) X Y f x( )的变上限积分函数
第五章 定积分 高等数学少学时 2.定理1若f(x)∈C[a,b]→D'(x)彐， 且 d=f)(asx) 证明思路：根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限” 证x∈(a,b),使得x+△x∈(a,b), J y=f(x) AD=D(x+△x)-ΦD(x) =∫+af()d-∫if()dt L x5x+△xbx =∫ife)d+∫f()d-∫ife0a =∫*f0tFf传)Ax5e(c,x+a) 由积分中值定理 北京邮电大学出版社 3
3 x + x 使得x + x(a,b), 2. 定理1 且 ( ) d ( ) ( )d ( ) d x a x f t t f x a x b x = = Δ = + − (x x x Δ ) ( ) 证 ( x) x (a,b)， a x y = f (x) x y O b Δ 若 f (x)Ca,b ( ) , x 证明思路：根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限” ( )d d ( ) x x x a a f t t f t t + = − ( )d d ( ) x x x a x f t t f t t + = + ( )d x a − f t t ( )d x x x f t t + = = f ( )x 由积分中值定理 (x, x + x)
第五章 定积分 高等数学少学时 △Φ =f(5) x Φ ∴.Φ'(x)=im Ar limf()=f(x)f(x)ECla,b] Ar->0 5→x △x>0→5→x y=f(x) 注定理说明了：若fx)∈C[a,b] Φ(x) ΔΦ =>Φ(x)=∫ft)dr x5x+△xbx 就是f(x)在4，b]上的一个原函数， Jf(x)dx=S"f()dt+c 肯定了连续函数的原函数是存在的 由此 揭示了定积分与原函数之间的关系 北京邮电大学出版社
4 lim ( ) f →x ( ) Δ 0 Δ lim x Δ x x → = = x + x ( x) a x y = f (x) x y O b Δ 注 定理说明了：若 f (x)Ca,b ( ) ( )d x a x f t t = 就是 f (x) 在 a,b 上的一个原函数. 由此 ( )d ( )d x a f x x f t t C = + 肯定了连续函数的原函数是存在的 揭示了定积分与原函数之间的关系 → → x x 0 = f ( x) f x C a b ( ) [ , ] Δ ( ) Δ f x =
第五章 定积分 高等数学少学时 推广若f(x)∈CLa(x),Bx)小， a(x),B(x)在(a,b)内可导 &(2fou-ncxs( (1) &(nfew）=-f1axla (2) )-A-nacic (3) 北京邮电大学出版社 5
5 推广 若f (x)C[(x),(x)], (x),(x)在（a,b）内可导 ( ) d ( ) ( )d [ ( )] ( ) (1) d x a f t t f x x x = ( ( ) ) d ( )d [ ( )] ( ) (2) d a x f t t f x x x = − ( ) ( ) ( ) d ( )d [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) (3) d x x f t t f x x f x x x = −