第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第二节氵 洛必达法则 一、 00 型未定式 二、 型未定式 00 三、其他未定式 北京邮电大学出版社 1
1 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 函数的性态 微分中值定理 11 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限 lim f(x) 0 或 818 型)》 g(x) 转化 洛必达法则 导数之商的极限 f'(x) g'(x) 北京邮电大学出版社 20
2 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型 ) 本节研究: 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 0 型未定式 定理1()四f(x)=mF(x)=0: (2)在x的某去心邻域内f'(x以F'(x)存在且F'(x)≠0； 3)im 存在 F'(x) （或无穷大）； 那么 f(x) lim f'(x) x-→x0 F(x) x→x0 F'(x) 这种求极限的方法称为 型未定式的洛必达法则， 北京邮电大学出版社 3
3 一、 定理1 型未定式 0 0 那么 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) lim lim x x x x f x f x → → F x F x = 这种求极限的方法称为 0 0 型未定式的 洛必达法则. (2)在 x0的某去心邻域内 f (x)、F(x) 存在且 F(x) 0; (3) ( ) 0 ( ) lim x x f x → F x 存在（或无穷大）； ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim 0; x x x x f x F x → → = =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定理条件：()im/()=i四F()=0: (2)在xo的某去心邻域内f'(x人F'(x)存在且F'(x)≠0； (3)lim ∫（女存在（或无穷大）； (x) 证不妨假设f(x,)=F(x)=0,在指定的邻域内任取 x≠x,则f(x),F(x)在以x,x为端点的区间上满足柯西 定理条件，故 f()_f(x)-f(x) =f"(5) (5在x,x之间) F(x) F(x)-F(x) F'(5) f'(5) lim f(x 2=lim lim f'(x) x-→xF(x 5→xF'(5) x→x0 F'(x) 北京邮电大学出版社
4 ( 在 x , x0之间) 不妨假设 在指定的邻域内任取 则 在以 x, x0 为端点的区间上满足柯西 故 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x F x F x F x − = − 0 ( ) lim ( ) x f F → = 定理条件: 定理条件, 证 (2)在 x0的某去心邻域内 f (x)、F(x) 存在且 F(x) 0; (3) ( ) 0 ( ) lim x x f x → F x 存在（或无穷大）； ( ) ( ) ( ) 0 0 1 lim lim 0; x x x x f x F x → → = = 0 0 f x F x ( ) ( ) 0, = = ( ) ( ) f F =
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 洛必达法则 lim f(x) =lim f'(x) x→F(x) x→x0 F'(x) 注1定理1中x→x,换为下列过程之一： x→x0,X→x0,X→00，X→+o0,x→-00 条件(2)作相应的修改，定理1仍然成立. 注2若1im/) F'(x) 仍展8型，且了0e,F满足定 理1条件，则 limf)=lim=lim) F(x) F'(x) F"(x) 北京邮电大学出版社 05
5 注1 定理1中 0 x x → 换为下列过程之一: 0 x x , → − 注2 理1条件, 则 条件 (2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x → → F x F x = ( ) ( ) lim F x f x 仍属 0 0 若 型, 且 f x F x ( ), ( ) 满足定