第四章不定积分 高等数学少学时 第二节换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 北京邮电大学出版社
1 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章不定积分 高等数学少学时 一、第一类换元法 定理设f(W)具有原函数F(),且u=p(x)可导，则 ∫f[p(x)]p'(x)=∫f(0)du=F(u),+C 证 四.0=1p=[o(✉]因 dx du 说明 定理指明了，若要求g(x),想法把函数g(x)化为 g(x)=fp(xp'(x)的形式，凑出微分lp(x)=φ'(x)c, 故本法又称为“凑微分法”. 北京邮电大学出版社 2
2 证 = f x x ( ) ( ) ( ) dx dF u ( ) dx du du dF u = = f u x ( ) ( ) 定理 一、第一类换元法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x f x x dx f u du F u C = = = + 说明 设 f u( ) 具有原函数 F u( ), 且 u x = ( ) 可导，则 定理指明了，若要求 ( ) , g x dx 想法把函数 g(x) 化为 g(x) = f (x)(x) 的形式， 故本法又称为“凑微分法”. 凑出微分 d x x dx = ( ) ( )
第四章不定积分 高等数学少学时 例1求∫2cos2xdc. 解∫2cos2.k=∫cos2xx)k=∫cos2.xd(2.y)=sin2x+C. 例2求∫sinxcosxd. 解1 ∫sino=∫sinn=∫uh(令sinx=W 1 =sin2x+C. 2 2 u=sin x 解2∫sinx cosxd=∫cosxd(-cosx)=-∫cosxd(cosx) =-Icos'x+C. 2 北京邮电大学出版社
3 2cos2 . xdx 例 求 1 2cos 2xdx = cos2 (2 ) xd x 解 x( x) dx = + sin2 . x C = cos 2 2 sin cos . x xdx 例 求 2 解1 sin cos x xdx = sin sin xd x = = udu x u ( sin ) 令 2 sin 12 u x u C = = + 1 2 sin . 2 = + x C 解2 sin cos x xdx = − cos ( cos ) xd x 1 2 cos . 2 = − +x C = − cos (cos ) xd x
第四章不定积分 高等数学少学时 ∫sin.=分sn2c=2sim2ad2s 解3 1 cos2x+C. -2-9-与3-24c 解 例4求∫2xe”在. 解∫2.xe*dc=je(2)k=∫ek2=e+C. 北京邮电大学出版社
4 + dx 3 2 x 1 ( ) ++ = x d x 3 2 3 2 21 1 ln 3 2 . 2 = + + x C 1 . 3 2 dx + x 例 求 3 解 ( ) + + = xx dx 3 2 3 2 21 xe dx x2 2 = 2 2 e dx x 2 . x = + e C 2 2 . x xe dx 例 求 4 解 e (x ) dx x = 2 2 解 3 sin cos x xdx 1 sin 2 2 = xdx 1 cos2 . 4 = − +x C 1 1 sin2 (2 ) 2 2 = xd x
第四章不定积分 高等数学少学时 例5求∫xV1-x. 解-小i- =-j1-gd-) 1ja-c --3a-x+C. 北京邮电大学出版社 50
5 x − x dx 2 1 = − 1 − ( 1 − ) 21 2 2 x d x = − − x 2 + C 3 2 ( 1 ) 32 21 3 2 2 1 (1 ) . 3 = − − + x C 2 x x dx 1 . − 例 求 5解 ( ) 2 2 21 1 x d − x = − −