第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第四节品数的单调性写 曲我的凹凸性 一、函数单调性的判别 二、曲线的凹凸性与拐点 三、函数图形的描绘 北京邮电大学出版社
1 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别 二、曲线的凹凸性与拐点 三、函数图形的描绘
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 y↑ y=f(x) y=f(x) a b x a b x 用导数来研究函数的单调性. 北京邮电大学出版社 20
2 O x O x y y y f x = ( ) y f x = ( ) a b a b 用导数来研究函数的单调性
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. (I)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[，b] 上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在【a,b] 上单调减少 证任取x1、七∈[4，b](化<x),在[x,x]上应用拉格朗日 中值定理，得 f(2)-f(x)='(5)(2-x)(<5<2) 3-10 由于在(3-11)式中x2-x1>0,f'()>0推出f()<f(,) 即函数y=f(x)在[M,b]上单调增加；同理可证(2). 北京邮电大学出版社
3 定理1 设函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上连续,在 ( , ) a b 内可导. ⑴ 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加; ⑵ 如果在 ( , ) a b 内 f x ( ) 0 ,那么函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调减少. 证 任取 1 x 、 x a b x x 2 1 2 , ( ) , 在 1 2 x x, 上应用拉格朗日 中值定理, 得 f x f x f x x x x ( 2 1 2 1 1 2 ) − = − ( ) ( )( ) ( ) (3-11) 由于在(3-11)式中 f x f x ( 1 2 ) ( ) 2 1 x x − 0, f x ( ) 0 推出 即函数 y f x = ( ) 在 [ , ] a b 上单调增加; 同理可证(2)
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 注把这个判别法中的闭区间换成其他各种区间（有限、 无穷区间)，结论仍然成立. 例1讨论函数y=e一x的单调性. 解函数的定义域为(-oo,+o),y'=e-1. (-,0)y'<0所以函数在（，0]上单调减少； (0,+∞)y'>0所以函数在(0，+∞]上单调增加. 例2讨论函数y=x的单调性 解函数的定义域为(-o,+∞) x=0时，函数的导数不存在. (-∞，0)y'<0所以函数在(-∞，0]上单调减少； 北京邮电大学出版社
4 注 把这个判别法中的闭区间换成其他各种区间 ( 有限、 无穷区间 ),结论仍然成立. 例1 讨论函数 e x y x = − 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , , ) 1. x y e = − (−,0) y 0 所以函数在 (−,0 上单调减少; (0,+) y 0 所以函数在 (0,+ 上单调增加. 例2 讨论函数 y x = 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , . ) 1, 0; 1, 0. x y x = − x = 0 时, 函数的导数不存在. (−,0) y 0 所以函数在(−,0 上单调减少;
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 (0,+o)y'>0所以函数在0，+o)上单调增加； 一般地，对于在定义区间上具有连续导数的函数，用其导函数 的零点来划分函数的定义区间以后，就可以使函数在各个部分 区间上单调.如果函数在某些点处不可导，那么这些导数不存 在的点也应该成为划分函数定义区间的分点 例3讨论函数y=x3-3x的单调性. 解函数的定义域为(-o,+o).y'=3x2-6.x=3x(x-2) 导函数的零点为x1=0x2=2.（-∞，0，[0,2]，[2，+o): (-oo,0)y'>0所以函数在（-∞，0上单调增加； (0,2)y'<0所以函数在0,2】上单调增加； 北京邮电大学出版社
5 (0,+) y 0 所以函数在 [0, ) + 上单调增加; 一般地,对于在定义区间上具有连续导数的函数,用其导函数 的零点来划分函数的定义区间以后, 就可以使函数在各个部分 区间上单调. 如果函数在某些点处不可导,那么这些导数不存 在的点也应该成为划分函数定义区间的分点. 例3 讨论函数 3 2 y x x = − 3 的单调性. 解 函数的定义域为 (− + , . ) 2 y x x x x = − = − 3 6 3 ( 2) 导函数的零点为 1 x = 0, 2 x = 2. ( ,0], − [0, 2], [2, ). + ( ,0) − y 0 所以函数在 ( ,0] − 上单调增加; (0,2) y 0 所以函数在 [0, 2] 上单调增加;