第六章微分方程 高等数学少学时 第六章微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程及其解法 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶常系数线性微分方程 第六章 习题课 北京邮电大学出版社
1 第六章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程及其解法 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶常系数线性微分方程 第六章 习题课
第六章微分方程 高等数学少学时 第一节微分方程的基本棍念 一、引例 二、微分方程的基本概念 北京邮电大学出版社 O20
2 第一节 微分方程的基本概念 二、微分方程的基本概念 一、引例
第六章微分方程 高等数学少学时 一、引例 例1一曲线通过点(1,3)，且在该曲线上任一点Pcy)处的 切线的斜率为4x3,求这曲线的方程 解设曲线方程为y=y(x),根据导数的几何意义，有 =y'(x)=4x (6-1) dx 两边积分，得 y=∫4xd即y=r+C 6-2) 其中C是任意常数.把=1，y=3代入(6-2)式，得C=2 于是所求曲线方程为y=x+2. 北京邮电大学出版社
3 两边积分，得 y = 4x dx 3 即 其中C 是任意常数. 解 根据导数的几何意义，有 y = x + C 4 (6-2) 设曲线方程为 y y x = ( ), 例1 一曲线通过点(1, 3)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的 切线的斜率为 ，求这曲线的方程. 3 4x (6-1) d 3 ( ) 4 d y y x x x = = 于是所求曲线方程为 2. 4 y = x + 把 x=1，y=3代入(6-2)式，得 C =2 一、引例
第六章微分方程 高等数学少学时 例2一质量为的物体只受重力作用而自由下落，试确定该 物体下落的距离s与时间t的函数关系. 解设物体经过时刻t的位置为s=s(),物体受重力F=g d"s 的作用而自由下落，物体下落的加速度a= 由牛顿第二定律F=M,于是得物体在下落过程中，路程 S与时间t满足的关系式为 d2s d's dt2 =mg, 或d2 =S"(t)=g (6-3) 北京邮电大学出版社
4 例2 一质量为m的物体只受重力作用而自由下落，试确定该 物体下落的距离s 与时间 t 的函数关系. 解 设物体经过时刻 t 的位置为 s = s (t),物体受重力 F = mg 的作用而自由下落，物体下落的加速度 . d d 2 2 t s a = 由牛顿第二定律 F = ma, 于是得物体在下落过程中，路程 s 与时间 t 满足的关系式为 , d d 2 2 mg t s m = 或 2 2 d ( ) d s s t g t = = （6-3）
第六章微分方程 高等数学少学时 此外，未知函数s=S()还应满足下列条件： t=0时，S=0,y=45=0. ds (6-4) dt 把(6-3)式两端积分一次，得 ds V= =s'()=gt+C1, dt 再积分一次，得 s=28+Ct+C2, 1 其中C1,C2都是任意常数. 把条件t=0时，v=0代入(6-5)式，解得C1=0. 再把条件t=0时，s=0代入(6-6)式，解得C2=0. 1 物体下落的运动方程为5=28， 北京邮电大学出版社 5
5 此外，未知函数 s = s (t) 还应满足下列条件： 0. d d = 0 = 0, = = t s t 时，s v （6-4） 把(6-3)式两端积分一次，得 d ( ) d s v s t t = = = gt +C1 , （6-5） 再积分一次，得 , 2 1 1 2 2 s = gt +C t +C （6-6） 其中 1 2 C ,C 都是任意常数. 0. 把条件 t =0时, v =0代入(6-5)式，解得 C1 = 再把条件 t =0时, s =0代入(6-6)式，解得 0. C2 = 物体下落的运动方程为 . 2 1 2 s = gt