第华章 导数与微分 高等数学少学时 第四节微分及其适算 一、 微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的公式及运算法则 四、微分应用举例 北京邮电大学出版社 O1
1 第四节 微分及其运算 一、 微分的定义 二、 微分的几何意义 三、 微分的公式及运算法则 四、 微分应用举例
第三章导数与微分 高等数学少学时 微分的定义 1.引例一一函数增量的构成 Xo x 正方形的金属薄片受温度的影响， x x 其边长由x变到xo+△x面积增加了多少？ 正方形边长与面积的函数关系式为 A=x好 xo 4cxo A=x2 当边长的增量为x时，面积的增量为 △M=(x+△x)2-x=2x△x+△2x 当△x→0时，是比 △x高阶的无穷小 △x的线性式是函数增量的主要部分 北京邮电大学出版社 2
2 一、 微分的定义 1.引例—— 函数增量的构成 2 A = x A x x x x x x 2 0 2 0 2 = ( 0 + ) − = 2 + 2 A = x0 x0x x0x x 2 x0 x x0 x 正方形边长与面积的函数关系式为 正方形的金属薄片受温度的影响， 其边长由x0变到x0+ Δx面积增加了多少？ 当边长的增量为Δx时，面积的增量为 x的线性式,是函数增量的主要部分 高阶的无穷小 当 时 是比 x x → 0
第东章 导数与微分 高等数学少学时 定义设函数y=fx)在某一区间内有定义，K及x+x在 该区间内，如果y=f(x。+x)-f(x)可表示为 △y=A△x+o(△x) 其中A与△x无关，那么称函数y=fx)在点x是可微分的，而A△x 叫做函数y=f(x)在点x的微分，记作dy,即 =A△x 注△y=A△x+O(△x)中，也称dy是△y的线性主部. 显然，当△x很小时，有△y≈少. 北京邮电大学出版社 3
3 y = Ax +(x) dy = Ax 设函数 y =f (x)在某一区间内有定义，x0及x0+ Δx在 该区间内，如果 y = f (x0 + x) − f (x0 )可表示为 注 y = Ax +(x) 中，也称 dy 是y 的线性主部. 显然，当x很小时，有 y dy. 定义 其中A与Δx无关，那么称函数y=f (x)在点x0是可微分的，而AΔx 叫做函数 y =f (x)在点x0的微分，记作dy,即
第二章导数与微分 高等数学少学时 2.导数与微分的关系 设函数y=f(x)在点x,可微，则△y=A△x+o(△x), Ay =A+ (△)∴.A= lim Ay =f'(xo). △x→0 △x △x 即f(x)在点x可导，且A=f'(x) 反之，如果f(w)在点x,可导，即1imA=f'x,)存在 Ax→0△ 由极限与无穷小的关系， Ay=f'(x)+a,其中ix=0. △x ∴.Ay=f'(x)△x+Ax=f'(x)△x+o(△x) 即函数y=f(x)在点x,可微. 北京邮电大学出版社
4 , ( ) x x A x y = + lim ( ). 0 0 f x x y A x = = → ( ) , 即f x 在点x0 可导 ( ). x0 且A = f 设函数y = f (x)在点x0 可微,则 lim ( ) . 0 0 即 f x 存在 x y x = → , ( ) , 反之 如果f x 在点x0可导 2. 导数与微分的关系 y = Ax +(x), ( ) , = 0 + f x x y y = f (x0 )x +x ( ) . 即函数y = f x 在点x0 可微 lim 0. 0 = → x 由极限与无穷小的关系， 其中 ( ) ( ). = f x0 x + o x
第三章导数与微分 高等数学少学时 定理y=f(x)在点x可导←=f(x)在点x可微. 注由dk=1·△x=△K,所以通常把△x称为自变量的微分， 记作k.于是y=f(x)的微分又可记作 少=f'(x)k 有 =f'(x) dx 即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此，导数 也叫“微商”. 北京邮电大学出版社 5
5 定理 y = f (x)在点x0 可导 ( ) . y = f x 在点x0可微 注 记作dx. 于是y = f (x)的微分又可记作 dy = f (x0 )dx 由dx = 1x = x, 所以通常把Δx称为自变量的微分， 即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此, 导数 也叫“微商”. ( ) x0 f dx dy 有 =