第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第六节方程的近仙解 一、二分法 二、切线法 北京邮电大学出版社 10
1 第六节 方程的近似解 一、二分法 二、切线法
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 一、二分法 设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0,且方程f(x)=0 在(a,b)内仅有一个实根5，则区间[a,]称为根5的隔离 区间.下面用二分法求根5的近似值. (取a,1的中点5=主，计算(5)若f(5)=0, 2 则51即为方程的根5.否则进行下一步. (2)若f(@)f(5)<0,则方程f(x)=0的根5在(a,5) 内，此时取a,]为根的新隔离区间；同样若f()f(b)<0, 则取[5，b]为根的新隔离区间. 北京邮电大学出版社
2 一、二分法 设 f x( ) 在 a b, 上连续, f a f b ( ) ( ) 0, 且方程 f x( ) = 0 在 (a b, ) 内仅有一个实根 , 则区间 [a , b] 称为根 的隔离 区间. 下面用二分法求根 的近似值. (1) 取 [a , b] 的中点 1 , 2 a b + = 计算 f ( 1 ). 若 f ( 1 ) = 0, 则 1 即为方程的根 . 否则进行下一步. (2) 若 f a f ( ) ( 1 ) 0, 则方程 f x( ) = 0 的根 在 ( ) 1 a, 内, 此时取 1 a, 为根的新隔离区间；同样若 ( ) ( ) 1 f f b 0, 则取 ,b 1 为根的新隔离区间
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 将根的新隔离区间记灯a,4]则么-4=（6-)： 重复上述做法，当5≠5=马十么时，可求得4，<5<6， 2 且6-4=是(6-小. 如此重复n次，可求得，<专<，且6，-，=(-小 若用“。或6，近似代替5其误差小于(b-) 北京邮电大学出版社 3
3 将根的新隔离区间记为 1 1 a b, , 则 ( ) 1 1 1 . 2 b a b a − = − 重复上述做法,当 1 1 2 2 a b + = 时, 可求得 2 2 a b 且 ( ) 2 2 2 1 . 2 b a b a − = − 如此重复 n 次, 可求得 , n n a b 且 ( ) 1 . 2 n n n b a b a − = − 若用 n a 或 n b 近似代替 其误差小于 ( ) 1 . 2 n b a −
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 二、切线法 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，f(a)f(b)<0且'(x)及 f”(x)在[a,b]上保持定号.在上述条件下，方程f(x)=0在(a,b) 内有唯一的实根5，[，]为根的一个隔离区间.此时，y=f(x)在 [a,b]上的图形AB只有如下图所示的四种不同情形. B b 0X1 i x ()f(a)<0,f(b)>0(b)f(a)>0,f(b)<0 f'(x)>0,f"(x)>0f'(x)<0,f"(x)>0 北京邮电大学出版社
4 二、切线法 设 f x( ) 在 a b, 上具有二阶导数， f a f b ( ) ( ) 0 且 f x ( ) 及 f x ( ) 在 a b, 上保持定号. 在上述条件下, 方程 f x( ) = 0 在 (a b, ) 内有唯一的实根 , a b, 为根的一个隔离区间.此时, y f x = ( ) 在 a b, 上的图形 AB 只有如下图所示的四种不同情形. x y O A B a b x1 x y O A B a b x1 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, 0 f x f x a f a f b ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, 0 f x f x b f a f b
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 B (c)f(a)<0,fb)>0 (df(a)>0,f(b)<0 f'(x)>0,f"(x)<0 f'(x)<0,f"(x)<0 考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出 方程实根的近似值，这种方法叫做切线法 从上面图(-(b)中看出，如果在纵坐标与"(x) 同号的那个端点（记作(x,f(x))作切线，这切线与x 轴的交点的横坐标x1就比x更接近方程的根5. 北京邮电大学出版社 5
5 x y O A B a b x1 x y O A B a b x1 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, 0 f x f x c f a f b ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, 0 f x f x d f a f b 考虑用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出 方程实根的近似值，这种方法叫做切线法. 从上面图(a)-(b)中看出，如果在纵坐标与 f x ( ) 同号的那个端点(记作 ( x f x 0 0 , ( )) )作切线，这切线与x 轴的交点的横坐标x1 就比x0更接近方程的根