第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 第三章中值定理与导数的爱用 一、基本定理与公式 二、洛必达法则 基本内容 三、利用导数讨论函数的性质 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 习题讲解 北京邮电大学出版社
1 一、基本定理与公式 二、洛必达法则 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 基本内容 习题讲解 第三章 中值定理与导数的应用 三、利用导数讨论函数的性质
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 基本定理与公式 1、Rolle定理 f(a)=f(b),则归5∈(a,b),使f'(5)=0 2、Lagrange定理f(b)-f(a)=f'(ξb-) 3、Cauchy定理 f(b)-f(a)_f) F(B-F(a)F 4、Imor定理f=,)+f代，-++(，-P+R,( Lagrange余项 R国=n+pG6-广-an6+9e-X-广 5、Maclaurin公式 f=fo+fo0e+…+0fook+a+nfa" 北京邮电大学出版社 2
2 一、基本定理与公式 1、Rolle 定理 f (a) = f (b), 则 (a,b)，使 f ( ) = 0 2、Lagrange 定理 f (b)− f (a) = f ( )(b− a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F f F b F a f b f a = − − 3、Cauchy 定理 ( ) ( )( ) ( 1)! 1 ( ) 1 0 +1 + − + = n n n f x x n R x ( ) ( ( ))( ) ( 1)! 1 1 0 0 0 +1 + + − − + = n n f x x x x x n Lagrange 余项 4、Taylor定理 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ! 1 0 0 0 0 0 f x x x R x n f x f x f x x x n n n = + − ++ − + 5、Maclaurin 公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1)! 1 0 ! 1 0 0 + + + = + + + + n n n n f x x n f x n f x f f x
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 二、洛必达法则 m得m周 0 00 0.0、00-0、0°、10、00 0 00 三、利用导数讨论函数的性质 1、一阶导数讨论函数的单调性与极值； 2、二阶导数讨论函数的凹凸性与拐点； 3、水平渐进线、铅直渐进线； 4、作图. 四、最大最小值问题 五、方程的近似解 北京邮电大学出版社
3 三、利用导数讨论函数的性质 1、一阶导数讨论函数的单调性与极值; 2、二阶导数讨论函数的凹凸性与拐点; 3、水平渐进线、铅直渐进线; 4、作图. 二、洛必达法则 ( ) ( ) ( ) F (x) f x F x f x lim = lim 0 0 0 0 1 0 0 − 、 、 、 、 四、最大最小值问题 五、方程的近似解
第三章微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 习题讲解 1、设imf'(x)=k,求imLf(x+)-f(x)川=？ X)00 解不妨假设心0，显然fx)在x,x+叫上连续，在c,+)内可导， 由拉格郎日中值定理，有 f(x+a)-f(x)=f'(5)a 5在x与x+之间 显然，当x→0时，5→0 ∴limf(x+a)-f(xl=limf'(5)a=alimf'(ξ)=ak E>00 2、证明多项式f(x)=x3-3x+M在[0,1川上不可能有两个零点. 解f'(x)=3x2-3<0,∈(0,1).f(x)在0,1川上单减， 所以f(x)在0,1上不可能有两个零点. 北京邮电大学出版社
4 解 显然f (x)在[x，x+a]上连续，在(x，x+a)内可导, f (x + a) − f (x) = f ( )a f x a f x f a a f ( ) ak x x + − = = = → → → lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim 由拉格郎日中值定理，有 在x与x + a之间 显然，当 x → 时， → 1、设 lim f (x) k, x = → lim[ ( + ) − ( )] = ? → f x a f x x 求 习题讲解 2、证明多项式 f (x) = x − 3x + a 在[0,1]上不可能有两个零点. 3 解 ( ) 3 3 2 f x = x − 0, x (0,1). f ( x) 在[0,1]上单减， 所以 f (x) 在[0,1]上不可能有两个零点. 不妨假设a>0
第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学少学时 3设a,+号++1=，证晓项式 4+4x+…+an-1x"+anx"在区间0,1内至少有一个零点 证设p()=a++++r ∴p'(x)=ao+ax+…+am-1x"-1+anx” 且p(o)=p(1)=0 ∴(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件， 则35∈(0,1)使得 p'()=0+41x+…+am-1x"-1+anx"=0 北京邮电大学出版社 5
5 3、 设 0，证明 2 1 1 0 = + + + + n a a a n 多项式 (0,1) . 1 a0 + a1 x ++ an−1 x n− + an x n 在区间 内至少有一个零点 证 ( ) 1 2 1 1 0 2 1 − + + = + + + + n n n n x n a x n a x a 设 x a x n n n x = a + a x + + an x + a x − − 1 0 1 1 ( ) (x) 在 0,1 上满足罗尔定理的条件， 则 (0,1), 使得 ( ) 0 1 = 0 + 1 + + 1 + = − − n n n x a a x an x a x 且 (0) =(1) = 0