第六章微分方程 高等数学少学时 复习 一、ym=f()型的微分方程 解法：逐次积分，降阶求解.（连续积分n次） 二、y”=(xy)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”=p', 原微分方程变为 p'=f(x,p) 设其通解为p=p(x,C1),则y'=p(x,C) 两端积分便得原方程的通解 y=∫p(x,C)k+C2 北京邮电大学出版社
1 复习 解法： 逐次积分，降阶求解. (连续积分n次). 一、 ( ) ( ) y f x n = 型的微分方程 二、 y = f (x, y) 型的微分方程 令 y = p, 则 y = p , 原微分方程变为 p = f (x, p) 设其通解为 ( , ), p = x C1 两端积分便得原方程的通解 = 1 + 2 y (x,C )dx C 解法： ( , ) x C1 则 y =
第六章微分方程 高等数学少学时 三、y”"=f(,y)型的微分方程 解法：令y'=p,则y”= 迎= dp c dy dp dx dy dx dy 于是y”=f(y,y)就成为 p =f(p) 这是一个关于y、p的一阶微分方程. 设其通解为y'=p=p(y,C1), 分离变量并积分， 便得原方程的通解： ∫G)x+c 北京邮电大学出版社 2
2 令 y = p, 则 x p y d d = 于是 y = f ( y, y) 就成为 f ( y, p) y p p = d d 这是一个关于y、p的一阶微分方程. ( , ), C1 y = p = y 便得原方程的通解: ( ) = + 2 1 , d x C y C y x y y p d d d d = 设其通解为 分离变量并积分， 三、 y = f (y, y) 型的微分方程 解法： d d y p = p
第六章微分方程 高等数学少学时 第四节二阶常素数线性 微分方程 二阶线性微分方程解的结构 二 二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程 1.f(x)=pnm(x)e型 2.f(x)=e[p(x)cos@x+p,(x)sin@x 北京邮电大学出版社
3 一、 二阶线性微分方程解的结构 二、 二阶常系数齐次线性微分方程 三、 二阶常系数非齐次线性微分方程 第四节 二阶常系数线性 微分方程 1. f (x) = pm (x) e x 型 2. f (x) = e x pl (x) cosx + pn (x)sinx型
第六章 微分方程 高等数学少学时 一、二阶线性微分方程解的结构 称形如 +P(x) +2(x)y=f(x)(6-10) dx 的方程为二阶线性微分方程. 在(6-10)中，若f(x)=0,即 d"y dx2 +P( )+0(xy=0(6-1) 称（6-11)为二阶齐次线性微分方程. 若f(x)丰0，则称(6-10)为二阶非齐次线性微分方程. 注：以下讨论的二阶线性微分方程的一些性质也适用于阶线性 微分方程： y回+a,(xya-+…+an-i(cy'+a(cy=f(x) 北京邮电大学出版社
4 一、二阶线性微分方程解的结构 2 2 d d ( ) ( ) ( ) (6 10) d d y y P x Q x y f x x x + + = − 2 2 d d ( ) ( ) 0 (6 11) d d y y P x Q x y x x + + = − 称形如 的方程为二阶线性微分方程. 在(6-10)中,若 f (x) 0, 即 称（6-11）为二阶齐次线性微分方程. 则称(6-10)为二阶非齐次线性微分方程. 注：以下讨论的二阶线性微分方程的一些性质也适用于n阶线性 微分方程： ( ) ( ) ( ) y a x y a (x)y a (x)y f (x) n n n n + + + − + = − 1 1 1 若 f (x) 0
第六章微分方程 高等数学少学时 先讨论二阶齐次线性微分方程： y"+P(x)y'+2(x)y=0 (6-11) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程 （6-11)的两个解，则 y=CiV](x)+C2Y2(x) (6-12) 也是(6-11)的解，其中C、C2是任意常数、 注(1)只要把(6-12)代入(6-11)即得证. (2)齐次方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 (3)(6-12)是方程(6-11)的解，但不一定是通解.只有当C与C, 相互独立，即C与C2无法合并时，(6-12)才是(6-11)的通解 北京邮电大学出版社 5
5 如果函数 y1 (x) 与 y2 (x) 是方程（6-11）的两个解，则 ( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x （6-12） (2) 齐次方程的这个性质表明它的解符合叠加原理. y + P(x) y + Q(x) y = 0 (6-11) 先讨论二阶齐次线性微分方程： 定理1 注 (1) 只要把(6-12)代入(6-11)即得证. 也是（6-11）的解，其中 、 是任意常数. C1 C2 相互独立，即 与 无法合并时，(6-12)才是(6-11)的通解. C1 C2 (3) (6-12)是方程(6-11)的解,但不一定是通解. 只有当 C1 与 C2