第六章微分方程 高等数学少学时 复习 一、可分离变量的微分方程 1定义g(y)=f(x)& 2解法步骤为： ①分离变量，使方程变为：g(y)=f(x) ②两边积分： ∫g(=∫f(x) ③求得通解： G(y)=F(x)+C 北京邮电大学出版社
1 复习 一、可分离变量的微分方程 1 定义 g(y)dy = f (x)dx( ) ( ) g y dy = f x dx G(y) = F(x)+C 2 解法步骤为： ① 分离变量， g(y)dy = f (x)dx ② 两边积分： ③ 求得通解： 使方程变为：
第六章微分方程 高等数学少学时 二、齐次方程 定义若=f(x,)中的f(x,)可写成上的函数，即 X )=) 则称这方程为齐次方程. 解法：① 将方程化为： du ② 令u=卫，则y=x, dy =u+x dr dx 代入①中方程，得u+xK=()这是可分离变量的方程。 ③分离变量. ④ 两边积分后，再回代。 北京邮电大学出版社 2
2 二、齐次方程 定义 ( , ) , = x y f x y 则称这方程为齐次方程. f (x y) dx dy 若 = , f (x, y) 可写成 x y 中的 的函数，即 解法:① 将方程化为： , x y ② 令 u = , x y x y = d d 这是可分离变量的方程. 则 y = ux, , x u u x x y d d d d = + 代入①中方程，得 (u), x u u + x = d d ③ 分离变量. ④ 两边积分后，再回代
第六章微分方程 高等数学少学时 三、一阶线性微分方程 1.定义一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Qx)=0, 称为一阶齐次线性微分方程； 若Qx)≠0， 称为一阶非齐次线性微分方程. 2.解齐次方程 dy+P(x)y=0 dx 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 n|y=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-fP(x)dx 北京邮电大学出版社 3
3 三、一阶线性微分方程 1. 定义 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, 若Q(x) ≠ 0, 称为一阶非齐次线性微分方程. 称为一阶齐次线性微分方程； ( ) 0 d d + P x y = x y 2.解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y C ( ) d e − =
第六章微分方程 高等数学少学时 3.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) dx 用常数变易法：作变换 (x)ux)e 则 -eccna 两端积分得 )=∫2x)fd+C 故原方程的通解为 y=e[Ueeeraax+c 北京邮电大学出版社 04
4 3.解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( )e , ( )d = − P x x 作变换 y x u x 则 ( )d ( ) ( ) e d P x x u x Q x x C = + 两端积分得 故原方程的通解为 ( )d ( )d e ( ) e d P x x P x x y Q x x C − = +
第六章微分方程 高等数学少学时 第三节可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程. 讨论三种易降阶的微分方程的解法 一、y)=f(x)型的微分方程 二、y”=f化，y型的微分方程 三、y=f,y型的微分方程 北京邮电大学出版社
5 第三节 可降阶的高阶微分方程 一、y (n) = f (x)型的微分方程 二、y = f (x, y )型的微分方程 三、y = f (y, y)型的微分方程 高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程. 讨论三种易降阶的微分方程的解法