第五章 定积分 高等数学少学时 一、无穷限的广义积分 复习 J。f(x)dr=limf()dc 十00 b→+ooJa ∫fxwd=md ∫nfe)d=∫fx)r+0fx)d 00 二、无界函数的广义积分 ∫feo)ae=im.fxdc 北京邮电大学出版社 2
2 复习 一、无穷限的广义积分 ( )d lim ( )d b a a b f x x f x x + →+ = ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x − →− = 0 0 f x x f x x f x x ( )d ( )d ( )d + + − − = + 二、无界函数的广义积分 0 ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x → + + =
第五章定积分 高等数学少学时 第五节定积兮在儿何中的寇用 一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长 北京邮电大学出版社
3 第五节 定积分在几何中的应用 一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长
第五章定积分 高等数学少学时 一、定积分的元素法 设量U可以用定积分计算，它与自变量x、函数fx)相关， 类似于求曲边梯形的面积，用元素法求U的四个步骤为： (1)分割：把[a,b分成个小区间，整体量U就被分为n个 部分量△U,则U=∑AU (2)近似代替： △U:≈f(5:)△x;(i=1,2,,n) (3)求和：U≈∑f5)△x i=l 4)取极限：U=lim∑f传)Ax,=fx)dr 北京邮电大学出版社
4 0 1 lim ( ) ( )d n b i i a i U f x f x x → = = = 1 ( ) n i i i U f x = （2）近似代替： （4）取极限： （3）求和： （1）分割: ( ) U f x i i i ( 1,2,..., ) i n = 1 n i i U U = = 整体量 U 就被分为n 个 则 把 a,b 分成n个小区间， , 部分量 Ui 一、定积分的元素法 类似于求曲边梯形的面积，用元素法求U 的四个步骤为： 设量 U 可以用定积分计算，它与自变量x、函数 f(x) 相关
第五章 定积分 高等数学少学时 一般地，如果某一实际问题中的所求量U符合如下条件： (1)U是一个与变量x的区间[，b]有关的量； (2)U对于区间[，b1具有可加性； (3)△U,的近似值可表示为f(5:)△x, 那么就可以利用元素法，用定积分来表达这个量U 北京邮电大学出版社 05
5 一般地，如果某一实际问题中的所求量U 符合如下条件： （1）U 是一个与变量x的区间[a,b]有关的量； （2）U 对于区间[a,b]具有可加性； ( ) , i i （3） Ui 的近似值可表示为 f x 那么就可以利用元素法，用定积分来表达这个量U
第五章 定积分 高等数学少学时 求U的积分表达式的步骤可简化如下： (1)确定积分变量x及积分区间[4，b]; (2)在[a,b]上任取小区间[x,x+dx],以f(x)dx作为 △U的近似值，记作dU,称为量U的积分元素，即 du=f(x)dx (3)写出U的积分表达式，即： U=∫fe)d 北京邮电大学出版社 6
6 （3）写出 U 的积分表达式，即： ( )d b a U f x x = 求U 的积分表达式的步骤可简化如下： （1）确定积分变量x及积分区间［a, b］； d ( )d U f x x = 的近似值，记作 以 U x x x , d , + f x x ( )d 作为 dU ，称为量 U 的积分元素,即 （2）在［a, b］上任取小区间