第六章 微分方程 高等数学少学时 复习 微分方程： 含有未知函数导数（微分）的方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程. 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程. 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数. 通解：解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数. 特解：满足初始条件的解 北京邮电大学出版社
复习 微分方程： 含有未知函数导数（微分）的方程. 未知函数是一元函数的微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程. 微分方程的阶： 常微分方程： 偏微分方程： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数. 通解：解中独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数. 特解：满足初始条件的解
第六章微分方程 高等数学少学时 第二节一阶徽分方程及其解佐 可分离变量的微分方程 二 齐次方程 三、一阶线性微分方程 北京邮电大学出版社 2
一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程 三、 一阶线性微分方程
第六章 微分方程 高等数学少学时 一、可分离变量的微分方程 1定义如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dv=f(x)dx (6-7) 的形式，则原方程就称为可分离变量的微分方程 2.解法 步骤为： ①分离变量，使方程变为：g(y)=f(x) ② 两边积分： g(y)d=∫f(x)d ③求得通解： G()=F(x)+C (6-8) (6-8)称为微分方程(6-7)的隐式解，或称为(6-7)的隐式通解 北京邮电大学出版社 3
一、可分离变量的微分方程 1.定义 如果一个一阶微分方程能写成 的形式，则原方程就称为可分离变量的微分方程. g y dy f x dx （6-7） g y dy f x dx G y Fx C （6-8） (6-8)称为微分方程(6-7)的隐式解，或称为(6-7)的隐式通解. 2.解法 ① 分离变量， g y dy f x dx ② 两边积分： ③ 求得通解： 步骤为： 使方程变为：
第六章微分方程 例1求解微分方程 +x2=0. 高等数学少学时 d 解分离变量得 dy =-xdx 说明：在求解过程中每 y 一步不一定是同解变形， fafax 因此可能增、减解. 两边积分 得 =-3式+G或 即 +C1 mly川=-3r+c到 令C=t9 3 (C为任意常数) y=Ce 3 (此式含分离变量时丢失的解y=0) 北京邮电大学出版社
例1 求解微分方程 0. d d 2 yx x y 解 分离变量得 x x y y d d 2 两边积分 x x y y d d 2 得 3 1 1 ln 3 y x C 1 3 ln ln 3 y x C 即 1 3 3 1 e x C y 3 1 1 3 e e x C 1 3 3 e x y C 1 e C 令C ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每 一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
第六章微分方程 高等数学少学时 注(1) 绝对值可以不加； (2)可直接设C,=lnC 例2求微分方程y-ylny=0满足初始条件yl=e的特解， 解这是可分离变量的微分方程.当y≠1时，分离变量得 yIn y x 两端积分得lnny=lnx+lnC, 即 In y= Cx. 原方程的通解为 y=ea. 由yx=1=e得C=1,原方程的特解为y=e. 北京邮电大学出版社 50
注 (1) 绝对值可以不加； (2) 可直接设 C 1 ln C 例2 求微分方程 xy yln y 0 满足初始条件 y e |x1 的特解. 解 x x y y y d 1 d ln 1 两端积分得 lnln y ln| x | lnC , 这是可分离变量的微分方程.当 y 1 时，分离变量得 ln y Cx . . Cx 原方程的通解为 y e 即 | 1 , 由 y x 1 e得 C 原方程的特解为 . x ye