北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组（3.5）线性方程组有解判别定理

线性方程组的解法 例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+ 2x2-2xA=0 x1-x,-4x2-3x4=0 解对系数矩阵A施行初等行变换: 1221 r,-2 Yi A=21-2-2 0-3-6-4

例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解           - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A           - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 1 2 r r r r - -

2r r2÷(-3) 08-cs 000 即得与原方程组同解的方程组 x=0 x2+2x3+x4=0

          0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2  - - r r r 1 2 2 r - r                 - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组      + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x

由此即得x1= 3 x2=21x3-3(x,x4可任意取值 令x3=C1,x1=C2,把它写成通常的参数形式 1=2C2+ 5 3 29 +C23

         = = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得      = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1                 + -             - =                c c x x x x

例2求解非齐次线性方程组 x1-2x,+3x 3x,-x2+5x2-3x,=2 2x1+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵B进行初等变换, 2 B=3-15-321H05-40-1 显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解

例２ 求解非齐次线性方程组      + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换，           - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 1 2 r r r r - -           - - - - - 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r - r           - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．