结论（4）若方阵A不可逆，则存在初等矩阵E,E2,E，使A=EEE,R，其中R的最后一行元素全为零，则detA=0此时，AT也不可逆，也有detA=0所以 det AT =det A（5）若方阵A可逆，则存在初等矩阵E,E2,E，使A=E,EE则det A= det E, det E, .det E,此时,A =E,...E,E"故det AT = det(E, ..E,'E,)= det E, ...det E, det E,T = det E,.det E, det E,所以 det AT = det A
结论 （5）若方阵 A 可逆 ，则存在初等矩阵 E1 ,E2 , ,Es ，使 A E1 E2 Es ， 则 此时， 故 A E E det Es det det det . 1 2 T T T s T A E E2 E1 （4）若方阵 A 不可逆 ，则存在初等矩阵 E1 ,E2 , ,Es ，使 A E1 E2 Es R ， 其中 R 的最后一行元素全为零，则 det A 0 此时， A T 也不可逆，也有 det 0 T A 所以 A A T det det T T T s T T T s T A E E2 E1 det E det E2 det E1 det det( ) det Es det E2 det E1 所以 A A T det det
性质5行列式转置后，其值不变aiaiaina21anla12a21a22a2na12a22an2anlan2anaina2nann说明行列式的行与列具有同等的地位，凡是行具有的性质对于列也成立，例5试证：奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。证明设A是n阶反对称矩阵（n为奇数），则AT=-A因而det A= det A = det(-A)=(-1)" det A= -det A故det A= 0
性质5 行列式转置后，其值不变。 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 说明 行列式的行与列具有同等的地位，凡是行具有的性质对于列也成立。 例5 试证：奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。 证明 设 A 是 n 阶反对称矩阵（n 为奇数），则 A A T 因而 A A A A A T n det det det( ) (1) det det 故 det A 0