《数学分析》课程教学课件（讲稿）第十章 定积分应用

例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解1)求出两抛物线的交点. 1.2 *=j(L1) 解方程组 [y2=x =x→x=0x=l 0.8 0. 0. 即这两个抛物线的交点为：(0,0，(1,1) 0. y=x2 0.2 xx+dx 2)选x为积分变量，则x∈0，山 3)面积元素dA=0y上-y不)k=(Wx-x2) x-6-引日 201912/2 11

2019/2/21 11 例 1 计算由两条抛物线y  x 2 和 2 y  x 所围成的 图形的面积. 解 (0,0), (1,1) 3) 面积元素 dA 2) 选x为积分变量, 则x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0    1 0 3 3 3 2 2 3         x x . 3 1  2 y  x 2 x  y 解方程组       2 2 y x y x 即这两个抛物线的交点为： x x+dx ( y 上  y 下)dx 1) 求出两抛物线的交点.  x  0, x  1 (1,1) ( x x )dx 2   1

S-[If:(x)-f-(x)Hx.S-[I0c(v)-pz(y)ldy 讨论：由左右两条曲线x=POy) yf:(x) 与x=Py)及上下两条直线=d a x+dx 与y=c所围成的平面图形的面积 X 如何表示为定积分？ =f斥(x) 提示：选积分变量， X=p左(0y) y+dy 面积元素dA=[p)-P左y)川y, 面积 S=[6)-p0)西 X=0佑y) 为2o192nl

2019/2/21 12 讨论：由左右两条曲线xj左(y) 与xj右(y)及上下两条直线yd 与yc所围成的平面图形的面积 如何表示为定积分？ 提示： 面积 为 面积元素    d c S [j 右(y) j 左(y)]dy  S f x f x dx b a   [ 上( ) 下( )]     d c S [j右(y) j左(y)]dy  dA=[j右(y)j左(y)]dy, 选积分变量

例2计算由曲线y2=2x和直线y=-4所围 成的图形的面积. 2019/2/21 13

2019/2/21 13 例 2 计算由曲线 y 2x 2  和直线 y  x  4所围 成的图形的面积

例2计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积。 解两曲线的交点 y=X-4 y2=2x→2，-2，(8,40 (y=x-4 y2=2x 选y为积分变量y∈[-2,4] a44-5s4-c4 24=18 2019/2/21

2019/2/21 14 例 2 计算由曲线 y 2x 2  和直线 y  x  4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点  (2,2), (8,4).       4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[2, 4] dA ) 1 8. 2 ( 4 4 2 2      d y y A y y 2x 2  y  x  4 y 2x 2  y  x  4 y+dy y dy y y           2 4 2

A- x=o(t) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 (y=v(t) 曲边梯形的面积A=广=v〔)p')山 (其中t和t,对应曲线起点与终点的参数值) 在[t1,t2(或[t2,t)上x=p(t)具有连续导数， y=W(t)连续 2019/2/21 15

2019/2/21 15 如果曲边梯形的曲边为参数方程      ( ) ( ) y t x t  j 曲边梯形的面积 （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t （或] [ 2 t , 1 t ]）上 x  j(t)具有连续导数， y (t)连续.     b a b a A f (x)dx ydx( ) ( ) . 2 1    j t t t t dt   b a A ydx