《数学分析》课程教学课件（讲稿）第十章 定积分应用

例3求椭圆x =1的面积. 解椭圆的参数方程 x=acost y=bsint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积. A-4ydsind(acos) =4ab∫sin2tl=πab. 2019/2/21 16

2019/2/21 16 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程      y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．   a A ydx 0 4   0 2 4 bsintd(acost) ab tdt    2 0 2 4 sin  ab

二、极坐标系情形 图形是曲边扇（梯）形 曲边扇形是由曲 线=p(0及射线 m0) 如何化不规则 0+d0 4a,4所围成 为规则 的图形 以圆扇形面积近 m0) 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素： 2019/2/21 17

2019/2/21 17   +d . dA . r =j( ) o . r  d 二、极坐标系情形 曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形 图形是曲边扇(梯)形 如何化不规则 为规则 以圆扇形面积近 似小曲边扇形的 面积，得到面积 元素： 

mθ) 积分变量0∈Io,βl 0+d0 面积元素 以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 0(0) 面积元素： A-d0 曲边扇形的面积A=∫lo(0)d0 2019/2/21 18

2019/2/21 18   +d . dA . r =j( ) o . r  d 积分变量 [,] 面积元素 以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素： j( ) d 2 1 d 2 A  曲边扇形的面积     [j( )] d 2 1 2 A 

例4：计算阿基米德螺线r=a0 (a>0) 上相应于0从0到2π的一段弧与极轴所围成 的图形的面积 解：取极角为积分变量，变化区间为[0,2π]，取小区间 [8,0+d0],则 面积元素d4=a8)20 2π -号0-g r=a0 A= orso 19

2019/2/21 19 例4: 计算阿基米德螺线 r = a (a > 0) 上相应于 从0 到 2 的一段弧与极轴所围成 的图形的面积. o x  r = a 2a 解: 取极角为积分变量, 变化区间为[0, 2 ], 取小区间 [,  + d ]，则 面积元素 dA a d 2 ( ) 2 1       2 0 2 2 2 d a A   2 0 2 3 2 3        a 2 3 3 4  a      [j( )] d 2 1 2 A

例5求心形线r=(1+c0s0)所围平面图形 的面积(a>0). 2019/2/21 20

2019/2/21 20 例 5 求心形线r  a(1 cos )所围平面图形 的面积(a  0)