例4求由方程xy+1smy=0所确定的隐函数的二阶 导数 d 解:应用隐函数的求导方法得 +- cos y dx 2 于是 2 dx 2-cos y 上式两边再对x求导得 -2sin y 4 sIn COS y 2-COS y 上式右端分式中的y是由方程x-y×n SIn y 0 不所确定的隐函数
例 求由方程 sin 0所确定的隐函数的二阶 2 1 4 x − y + y = . 2 2 dx d y 导数 解 : 应用隐函数的求导方法,得 cos . 0 2 1 1− + = dx dy y dx dy . 2 cos 2 dx y dy − 于是 = 上式两边再对x求导,得 ( ) 2 2 2 2 cos 2sin y dx dy y dx d y − − = sin 0 2 1 上式右端分式中的y是由方程x − y + y = 所确定的隐函数. ( ) . 2 cos 4sin 3 y y − − =
例5*设曲线C的方程为x3+y3=3xy,求过C上 点(,)切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对求导,3x+3yy=3y+3xy y-x 22)y-x 所求切线方程为y-,=-(3 3 )即x+y-3=0 法线方程为p-3=x3 2 J=, 显然通过原点
例5 . ) , 2 3 , 2 3 ( * 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = x y C 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例6*设x4-xgy+p4=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x32-y-xy+4y3y=0 代入x=0,y=1得y1x-0 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y)2+4y3y"=0 代入x=0,y=1,y1x=0=得yx=0= 16
例6* 1, (0,1) . 设 x 4 − xy + y 4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1得 ; 4 1 1 0 = = = y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 得 4 1 1 0 = = = y x 代入 x = 0, y = 1, y . 16 1 1 0 = − = = y x y
、对数求导法 观察函数y= (x+1)3x-1 sInx (x+4) 2x5 方法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围 多个函数相乘和幂指函数u(x)(的情形
二、对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 2 3 x x y x x e x x y = + + − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v ( x )的情形
例7求y=V(x=3x-4)的导数 解:先在两边取对数假定x>4)得 hy=ln(x-1)+h(x-2n(x-3)-h(x=4 上式两边对x求导,注意到y 是x的函数,得 y 2(x-1x-2x-3x-4 于是 x- X x x
( )( ) ( )( ) 例 求 的导数 3 4 1 2 7 − − − − = x x x x y ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4) 2 1 ln y = x − + x − − x − − x − 是 的函数，得 上式两边对 求导，注意到 x x y , 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 ' 1 − − − − − + − = x x x x y y 解 ： 先在两边取对数(假定x 4)，得 − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 ' x x x x y 于是 y