§27画的微分 高等数学
1 高 等 数 学
问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, Ar(4r)2 正方形面积A=x02, △A=(xo+△x)2-x A =2x0·△x+(△x) (2) (1):Ax的线性函数且为△4的主要部分; (2):△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略
2 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如,设函数y=x2在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量△ 小y=(x0+△x)3-x0 =3x2△x+3x0·(△x)2+(△x)3 当△很小时,(2)是△x的高阶无穷小(△x 4y≈3x2·△Ax.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
3 再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y x0 x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义, x及x+△x在这区爆 △y=f(x0+△x)-f(x)=A·△x+O(△x 成立(其中A是与△无关的常数,则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 作d=n或(x),即 A·△x x-o 微分叫做函数增量△y的线性主部(微分的实质)
4 二、微分的定义 定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及x0 + x在这区间内如果 ( ) ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x = Ax + o x ， 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 ( ) , y = f x 在点x0 可微 并且称Ax为函数 ( ) , y = f x 在点x0 相应于自变量增量x的微分 ( ), . 0 0 0 dy df x dy A x 记作 x=x 或 即 x=x =
由定义知: (1)是自变量的改变量的线性函数 (2)△y-y=0(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,小与4y是等价无穷小 △ =1+ 0(△x) A.Axx>1(△x→>0 (4)A是与Ax无关的常数但与f(x)和x有关; (5)当x很小时,4≈小(线性主部)
5 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)