反就的民一合的大导 高等数学
高 等 数 学
、反函数的导数 定理如果函数x=0(y)在某区间内单调、可导,且o(y)≠0 那末它的反函数y=f(x)在对应区间内也可导, 且有f(x)1 (x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数
一、反函数的导数 定理 x = (y) I , (y) 0 如果函数 在某区间 y 内单调、可导 且 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 那末它的反函数 ( )在对应区间 内也可导, x y = f x I . ( ) 1 ( ) x f x 且有 =
证明:条件:函数x=0()在某区间内单调、可导 且9(y)≠0 结论:反函 数的导数等 取∨x∈Ⅰ,给x以增量Δx 于直接函数 (△x≠0,x+△x∈Ix 导数的倒数 由y=f(x)的单调性可知4y≠0, 于是有tAy_1 f(x)= o'(y) △x△x 介即 又有f(x lim A→0△xq(y) 连续 ∴△y→0(Ax→>0), △y 又知φ(y)≠0 f(r)=lim 4y △x→>0△x
证明： , x 取 x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1y x x y = 连续 又有f ( x ) y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 xy f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x = ( 0, ) x x x + x I 结论：反函 数的导数等 于直接函数 导数的倒数 . ( ) 0( ) =yx y I y 且 条件：函数 在某区间 内单调、可导 ？ 即
例1求函数y= arcsin x的导数 解∵x=sin在n∈( T兀 22内单调、可导, 且(siny)′=cosy>0,∴在Ix∈(-1,1)内有 (arcsine) siny)’cosy 1-sin y 同理可得 (arccos x) (arctan x) (arccot x) 1+x 1+x 2
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y= log, x的导数 解∵x=a”在/,∈(-∞,+0)内单调、可导, 且(a")'=ana≠0,∴在/2∈(0,+∞)内有, (log x= (a") aIna xIna 特别地(nx)=
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =