§25阶导数 高等数学
高 等 数 学
高阶导数的定义 定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即 ((x))=lim f(x+△x)-f(x) 存在 △x->0 △x 则称(f"(x)为函数f(x)在点x处的二阶导数 记作f"(x) dy n d f(r) 或 dx dx 2 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y dx d 三阶导数的导数称为四阶导数,f(x),y,dx
一、高阶导数的定义 定义 如果函数f (x)的导数f (x)在点x处可导,即 , ( ) ( ) ( ( )) lim 0 存在 x f x x f x f x x + − = → 则称( f (x))为函数f (x)在点x处的二阶导数. 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的m阶导数,记作 d end f(x) f(x),ym),或 dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;∫(x)称为一阶导数
函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数
、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例2y=ax+b,求y 角:y `三 O 例3S=siat,求s" #4: S=ocos ot, s=-0sin ot 例4求指数函数的n阶导数 解y 般地,可得y)=e 即(ey")=e
例2 y = ax +b,求y''. 解： y' = a, 例3 s = sin t,求s''. 解： s' = cost, 例4 求指数函数的n阶导数. ' , x 解 y = e (n) x 一般地，可得y = e ( ) ( ) x n x 即e = e 二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. y' ' = 0. '' sin . 2 s = − t '' , x y = e ''' . x y = e
例5证明:函数y=√2x-x2满足关系式 yy+1=0 证:将y=√2x-x2求导,得 2-2x x y 2√2x-x 2x-x 2-2x 2x-xa 2√2x-x 2x-x -2x+x2-(1-x 2x-x2)2 2 -x -x 于是 y1+1=0
例5 证明:函数y = 2x − x 2 满足关系式 '' 1 0 3 y y + = 证:将y = 2x − x 2 求导，得 , 2 1 2 2 2 2 ' 2 2 x x x x x x y − − = − − = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '' x x x x x x x x y − − − − − − − = ( ) 3 2 1 2 1 2 3 y x x = − − = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x x x x x − − − + − − = '' 1 0 3 于是 y y + =