21号的概念 高等数学
高 等 数 学
问题的提出 自由落体运动的瞬时速度问题: 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于t的时刻,运动时间△M,°0△ 运用自由落体公式:s=gt2 S △s 平均速度ⅴ= (to +t) △tt 当t→t时,取极限得 瞬时速度ⅴ=lim lin &(t gto
一、问题的提出 自由落体运动的瞬时速度问题： 0 s t , 求t 0时刻的瞬时速度 s 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim lim 0 0 0 0 0 + = − − = → → g t t s s t t t t 瞬时速度 . 0 = gt 2 gt 2 1 运用自由落体公式： s =
2切线问题割线的极限位置切线位置 1.51.75 2.252 2.75
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
J 如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 极限位置即 0 0 rx MN→0,∠MMT→0.即:g→>a设M(x0,y),N(x,y) 割线M的斜率为tnp=”-y=f(x)-f(xn) d-d X-d 沿曲线C 0 M. 切线Mm的斜率为k=tano=lim f(x)-f(x0) X→x r-d
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , 0 N M x x ⎯沿 ⎯曲 ⎯线 ⎯C → → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = → 即： → T 0 o x x x y y = f (x) C N M x y
导数的定义 定义:设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x+△x仍在该邻域内)时,相应地函数y取 得增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)如果Ay与 △x之比当Ax→0时的极限存在,即lm △ △x→>0△x 存在。则称函数y=f(x)在点x处可导,并 称这个极限为函数y=f(x)在点x处的导数 口为 d x
二、导数的定义: 定义: 设函数 y = f (x)在点x0 的某个邻域内 有定义, 当自变量x在x0 处取得增量x (点 x0 + x仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y = f (x0 + x) − f (x0 ); 如果y与 x y x x x → →0 之比当 0时的极限存在， 即 lim 存在。则称函数y = f (x)在点x0 处可导, 并 ( ) , 称这个极限为函数y = f x 在点x0 处的导数 , x x0 y = 记为 , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy = 或 =