34安概令和性质 高等数学
高 等 数 学
原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即vx∈I,都有F(x)=f(x) 或dF(x)=∫(x)x,那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)d在区间内的一个原函数 例(sinx)= cosr sinx是cosx的原函数 nx)=(x>0) lnx是在区间(0,+∞)内的原函数
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内的一个原函数. 一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间/内连续, 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使vx∈I,都有F(x)=f(x) 简言之:连续函数一定有原函数 问题:(1)原函数是否唯一? (2)若不唯一,它们之间有什么联系? BJ(sin x)=cos x (sin x+C)=cos x (C任意常数)
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一，它们之间有什么联系？
关于原函数的说明 1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是∫(x)的原函数 (2)若F(x和G(x)都是f(x)的原函数 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 证∵[F(x)-G(x)j=F(x)-G(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）
不定积分的定义: 在区间Ⅰ内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称为f(x)在区间内的 不定积分,记为∫(x)lt ∫r(xk=F(x)+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数 式量
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内， f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx