《高等数学》课程教学资源：第二章习题课

主要内容 关d 系d y分=y分Ay=+0(△x) 基本公式 导数 微分 △y 高阶忌数 li 小y=y△x △x→>0△x 高阶微分 求导法则

求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x    →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy =   =    = +  高阶导数 高阶微分 一、主要内容

1、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义, 当自变量x在x处取得增量△x(点x0+△x仍在该邻域 内时,相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0); 如果Ay与Ax之比当△x→0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x) 在点处的导数记为y,或 y'lxex =lin Dy=lim f(xo+ Ax)-f(xo) △x→>0△x△x-0 △v

1、导数的定义 在点 处的导数 记为 或 即 在点 处可导 并称这个极限为函数 如果 与 之比当 时的极限存在 则称函数 内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该邻域 设函数 在点 的某个邻域内有定义 , ( ) , , ( ) , ( ) 0 , ) , ( ) ( ); ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x dx df x dx dy x y y f x x y f x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = =  = =    →  = +  −  +  定义 = . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x  +  − =    =  →  → =

单侧导数 1左导数: f∫(x)-∫( f(xo+△x)-f(x0) ∫"(x0)=lim li m △x 2右导数: f(o=lil f(x)-f( x0)_mf(x0+△x)-f(xn) x→xa+0 x-x △x→+0 △v 函数f(x)在点x0处可导兮左导数f(x0)和右 导数f(x0)都存在且相等

2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → −  →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x  +  − = − −  = → +  →+ + 函数 f (x)在点x0 处可导左导数 ( ) x0 f −  和右 导数 ( ) x0 f +  都存在且相等

2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) (C)=0 (xy=μux-1 (sin x)=cosx cos -sIn d (tan x)=secx (cotx)=-csc"x (sec x)= sec xtgx (csce cSc ector (a)=a Ina (loga rr's I xIn a 1 (arcsin x) (arccos)'=- 1 (arctan x) arccotrr's、t 1+x 1+

2、基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x +  = −  =  =  =  =  =  =  = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x +  = − −  = −  =  =  = −  = −  = −  =   − arc

3、求导法则 (1)函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),p=v(x)可导,则 (1)(a±v)'=n'±v',(2)(cu)’=cw'是常数) (3)(uv)='y+uv',(4) (v≠0) (2)反函数的求导法则 如果函数x=(y)的反函数为y=f(x),则有 f(r) p(x)

3、求导法则 设u = u(x), v = v(x)可导，则 （1）(u  v) = u  v, （2）(cu) = cuc( 是常数), （3）(uv) = uv + uv, （4）( ) ( 0) 2   −   = v v u v uv v u . (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 . ( ) 1 ( ) ( ) ( ), x f x x y y f x     = 如果函数 = 的反函数为 = 则有