2洛必达法则 高等数学
高 等 数 学
0 型及型未定式解法:洛必达法则 0 ● 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 极限imf(x)可能存在、也可能不存在.通 (x→>∞) F(x) 0 常把这种极限称为或—型未定式 tanx 0 In sin axon 例如,Iim,()m x→ x-0 Insin bx oo
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设 (1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内,f(x)及F(x)都存在 且F(x)≠0 (3)if(x) 存在(或为无穷大) x少0F(x) 那末mf(x)=mf(x x0F(x)x→aF(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
(1)当 时,函数 ( ) 及 ( ) 都趋于零; 设 x → a f x F x 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. ( ); ( ) ( ) (3) lim 存在 或为无穷大 F x f x x a → ( ) 0; (2) , ( ) ( ) F x a f x F x 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 那末
证定义f(a)=F(a)=0辅助函数 X≠ f1(x)= F(x),x≠a F1(x) = 0. = 在U(a,6)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f() f(x)-fa(s) F(x)F(x)-F(a)F"()(5在x与a之间) 当x→时,5→a,linf"(x)=A,加mnf(5)=A x→aF(x) 5→aF(2) lim f(x)=lim /(5-lm /(5) x→a F(x)xF"(2)5F'(2)
证 定义 f(a)=F(a)=0 辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F f F x f x x a x a a = = = → → →
如果(x)仍属0型,且f(x,F(x)满足 F"(x) 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 f()=lim/(x)=lim() x→a F(x)xaF(x)x→aF"(x) x→>∞时,该法则仍然成立 limf(x)= lim/(x) x少F(x)x0F(x)
当x →时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → →