§43交积分法 高等数学
高 等 数 学
、基本内容 问题[xedr=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数u=l(x)和v=v(x)具有连续导数, (uv)=u'v+uv, uv=(uv)-u'v, uva=uv-u'vdr, udy=uv- vdu 分部积分公式
问题 xe dx ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数, uv uv uv , uv uv uv, uv dx uv u vdx, udv uv vdu. 分部积分公式 一、基本内容
例1求积分「 x cosr 解(-)令u=c0sx,则alu=- sin xdx dv= xdx ==dx 2 udv=uv xcos xar cos xd ix =cosx+ sInar 2 2 显然,u,v选择不当,积分更难进行 解(二)令M=x dv=cos xdx =d sin x du= dx 1三SlnX ∫ x cos xdx=∫ xd sin x= xsin-. jsinxdx =sinx+ cosx+C
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令u cos x, 2 2 1 dv xdx dx xcos xdx xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然，u,v选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u x, dv cos xdx d sin x xcos xdx xd sin x xsin x sin xdx xsin x cos x C. 则du sin xdx du dx 2 2 1 则v x v sin x 2 2 1 cos xd x udv uv vdu.
例2求积分∫e 解 u= d dv=edx=de 则alu=2xx x xe dx=x de =xter-2 xe dx (再次使用分部积分法) u= dv=e dx Udu=dx 1V三已 xe-2(xe -e )+C. 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u x , x x dv e dx de x e dx 2 x x e xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x （再次使用分部积分法） u x, dv e dx x 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) x 则 du 2xdx v e 则du dx x v e x x de 2
例3求积分 arctan xdx 解令= arctan、bhy=h=a灯 2 则a X 1+x arctan xdx= arctan- d(arctan x) 2 2 x21 arctan x 2 21+x 2 arctan (1 Ddx 2 1+x x 2 rctanx-(x-arctan x)+C
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u arctan x , 2 2 x dv xdx d xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x dx x du 2 1 1 则 2 2 x v