26隐。数的导数 高等数学
高 等 数 学
隐函数的导数 定义由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=∫(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
例1*求由方程xy-e2+e"=0所确定的隐函数 y的导数 dx dx 解方程两边对求导 dh y+x " e 0 d x 解得小 e 由原方程知x=0,y=0, dx x+e 小y e -y xte'ly=
例1* , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2求由方程y3+2y-x-3x=0所确定的 隐函数y在x=0处的导数 解:把方程两边分别对x求导,由于方程 两边的导数相等,所以 5y dx +2 1-21x°=0 y1+21x 由此得 x5y+2 因为当时x=0,从原方程得 y=0,所以 dlx=0
例2 求由方程y 5 + 2y − x −3x 7 = 0所确定的 0 . =0 = dx x dy 隐函数y在x 处的导数 解: 把方程两边分别对x求导，由于方程 两边的导数相等，所以 5 2 1 21 0. 4 6 + − − x = dx dy dx dy y 由此得 。 5 2 1 21 4 6 + + = y x dx dy 因为当时x = 0，从原方程得2 1 0 = 0, = dx x= dy y 所以
例3求椭圆x+=1在点2,33处的切线方程 解:由导数的几何意义知道,所求切线 的斜率为k=y12 把椭圆方程的两边分别对求导,有 2 O 从而 dy 9x 16 当x=2,y=33,代入上式得 √3 dx 4 于是所求切线方程为 4 √3x+4y-83=0
3 4 3 23 2, x o y 3 . 23 1 2, 16 9 3 2 2 例 求椭圆 在点 处的切线方程 + = x y 解:由导数的几何意义知道,所求切线 ' . =2 = x 的斜率为 k y 把椭圆方程的两边分别对求导,有 . 0, 92 8 + = dx dy y x . 169 yx dx dy 从而 = − 当 3,代入上式得 23 x = 2, y = 43 2 = − dx x = dy 于是所求切线方程为( 2), 43 3 23 y − = − x − 即 3 x + 4 y − 8 3 = 0